Изменения

=Динамика Главной особенностью [[динамическое программирование|динамического программирования]] по [[Дерево, эквивалентные определения | поддеревьям]] является необходимость учитывать ответы в поддеревьях, так как они могут влиять на ответы в других поддеревьях.Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьямзадачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве. == Задача о паросочетании максимального веса в дереве == {{Задача|definition = Пусть задано взвешенное дерево, с весами, обозначенными как <tex>w_{i,j}</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> — вершины дерева, соединённые ребром.. Необходимо составить такое [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях | паросочетание]], чтобы суммарный вес всех рёбер, входящих в него, был максимальным.}}Для решения данной задачи существует несколько алгоритмов. Например, [[алгоритм_Куна_для_поиска_максимального_паросочетания | алгоритм Куна]], который имеет верхнюю оценку порядка <tex>O \left ( n^3 \right )</tex>. Но так как нам дано дерево, то можно использовать динамическое программирование, время работы алгоритма с которым улучшается до <tex>O \left ( n \right )</tex>. Обозначим <tex>a[i]</tex> как паросочетание максимального веса в поддереве с корнем в <tex>i</tex>-той вершине, при этом <tex>i</tex>-тая вершина соединена ребром, входящим в паросочетание, с вершиной, входящей в поддерево <tex>i</tex>-ой вершины; аналогично <tex>b[i]</tex> {{---}} как паросочетание максимального веса в поддерева с корнем в <tex>i</tex>-той вершине, но только при этом <tex>i</tex>-тая вершина соединена ребром, входящим в паросочетание, с вершиной, не входящей в поддерево <tex>i</tex>-ой вершины; а <tex>c[i]=\max \left ( a[i],b[i] \right )</tex>, таким образом, ответ на задачу будет находиться в <tex>c[root]</tex>, где <tex>root</tex> {{---}} корень дерева. Идея динамического программирования здесь состоит в том, что для того, чтобы найти паросочетание максимального веса с корнем в вершине <tex>i</tex>, нам необходимо найти максимальное паросочетание для всех поддеревьев <tex>i</tex>-ой вершины. Обозначим <tex>Ch(x)</tex> {{---}} как множество сыновей вершины <tex>x</tex> и будем находить значения <tex>a[x]</tex> и <tex>b[x]</tex> следующим образом: Если вершина <tex>x</tex> {{---}} лист, то <tex>a[x]=b[x]=0</tex>, в противном же случае * <tex>a[x]=\max_{y \in Ch(x)}\limits \left ( b[y]+w_{x,y} +\sum_{\substack{z \neq y\\z \in Ch(x)}} \limits \max \left ( a[z],b[z] \right )\right )</tex>,* <tex>b[x]=\sum_{z \in Ch(x)} \limits \max \left ( a[z], b[z] \right )</tex> С учётом того, что <tex>c[i]=\max \left ( a[i],b[i] \right )</tex>, эти формулы можно переписать как * <tex>a[x]=\max_{y \in Ch(x)}\limits \left ( b[y]+w_{x,y}-c[y] \right )+b[x]</tex>* <tex>b[x]=\sum_{z \in Ch(x)} \limits c[z]</tex>.

Теперь оценим количество операций, необходимых нам для нахождения <tex>c[root]</tex>. Так как <tex>c[i]===Решение===\max \left ( a[i],b[Файл:parosochetanie.png|100px|i] \right|frame|Максимальное взвешенное паросочетание)</tex>, то для вычисления <tex>c[root]</tex> необходимо вычислить <tex>a[root]</tex>, <tex>b[root]Главное отличие этой задачи от других динамически решаемых </tex>. Для вычисления и того, и другого необходимо время порядка <tex>O \left ( \sum_{{---x=1}} ответ в одном поддереве влияет на решение ^n \limits \left | Ch(x) \right | \right )=O \left ( n \right )</tex>, где <tex> n </tex> — число вершин в остальныхдереве.

Если мы запрещаем=== Псевдокод === <font color = darkgreen>// в основной процедуре вызываем dfs от корня(root), после этого ответ будет хранится в c[root] </font color = darkgreen> '''function''' dfs(x: '''int''', a: '''int[]''', b: '''int[]''', c: '''int[]''', w: '''int[][]''', Ch: '''int[]'''): '''for''' (i : Ch[x]) dfs(i, a, b, c, w, Ch) a[x] = max(a[x], b[i] + w[x][i] - с[i]) <font color = darkgreen>// по формуле выше, значит можем разрешить всем но без b[x] (прибавим его детям выбрать ребро из своего корня к своим детям. В ином случае один раз в конце) </font color = darkgreen> b[x] += с[i] a[x] += b[x] <font color = darkgreen>// так как в a[x] пока что хранится только на сколько мы можем разрешить не всем детямувеличить ответ если будем использовать вершину x</font color = darkgreen> c[x] = max(a[x], а только тем, которые не были выбраны ребром из корня.b[x])

===Рекуррентная формулаЗадача о сумме длин всех путей в дереве =={{Задача|definition =Найти сумму длин всех путей в дереве.}}Обозначим в качестве Решим эту задачу за <tex>dpO(vertex, use\_rootn)</tex> функцию, возвращающую ответ для поддерева с корнем . Пусть задано подвешенное дерево. Рассмотрим пути проходящие в поддереве вершины <tex>uv </tex>.Если <tex>use\_root=1</tex>Во-первых, это пути, не проходящие через эту вершину, то есть все пути в этом поддереве мы разрешаем занимать кореньподдеревьях её сыновей. Во-вторых, пути, иначе нет. Обозначим вес ребра из которые оканчиваются вершиной <tex>v</tex> . И в -третьих, это пути, проходящие через вершину <tex>uv </tex> как , они начинаются из поддерева одного из сыновей этой вершины и заканчиваются в другом поддереве одного из сыновей вершины <tex>w[v,u]</tex> .

Теперь подсчитаем пути для каждого варианта. Обозначим <tex>dp(S[v]\ - </tex> размер поддерева <tex> v </tex>, <tex> F[v]\ - </tex> сумма длин всех путей в поддереве вершины <tex> v </tex>, <tex> G[v]\ - </tex> сумма длин всех путей начинающихся в поддереве вершины v и оканчивающихся вершиной <tex> v </tex>, <tex> H[v]\ - </tex> сумма длин всех путей проходящих через вершину <tex> v </tex>. Если вершина <tex> u </tex> лист, то <tex> S[u] </tex> = 1, а <tex> G[u] </tex> = <tex> H[u] </tex> = 0.# Пути не проходящие через эту вершину. Это просто сумма суммы длин путей для всех поддеревьев детей или <tex> \sum_{x \in Ch(v) } \limits F[x]</tex>.# Пути оканчивающиеся в вершине <tex> v </tex>. Рассмотрим ребро, соединяющее вершину <tex> v </tex> и одного ее сына, пусть это будет вершина <tex> g </tex>. Переберем все пути, которые начинаются с этого ребра и идут вниз. Сумма длин всех таких путей будет сумма путей оканчивающихся в <tex> g + S[g] </tex>, так как суммарная длина путей оканчивающихся в вершине <tex> g </tex> уже сосчитана и каждый такой путь, которых ровно <tex> S[g] </tex> мы продлили ребром, соединяющим вершины <tex> v </tex> и <tex> g </tex>. Суммарная длина таких путей: <tex> G[v] = \sum_{x \text{childin Ch(v)}\ vlimits {\ ofBigl(G[x] + S[x]\ uBigl)}dp(</tex>.# Пути проходящие через вершину <tex> v </tex>. Рассмотрим двух сыновей этой вершины: <tex> x </tex> и <tex> y </tex>. Нам надо подсчитать все пути, которые поднимаются из поддерева <tex> x </tex> в <tex> v</tex> и затем опускаются в поддерево <tex> y </tex> и наоборот. То есть по каждому пути, оканчивающимся в вершине <tex> x </tex> мы пройдем столько раз сколько элементов в поддереве <tex> y </tex>, следовательно суммарная длина таких путей будет <tex> G[x]S[y] </tex>. Аналогично, если будем подниматься из поддерева <tex> y </tex>. Также надо учитывать сколько раз мы проходим по ребрам, 1)соединяющим вершины <tex> x </tex> <tex> v </tex> и <tex> y </tex> <tex> x </tex>. Итого для двух вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <brtex>G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y] </tex>dp, следовательно (u<tex> x, 1y \in Ch(v)</tex>) <tex> H[v] = \maxsum_{x,y\leftx \ne y} \limits{dp\Bigl(uG[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]\Bigl)} </tex>. Но такой подсчет испортит асимптотику до <tex> O(n^2) </tex>. Заметим, что <tex> \sum_{x, 0y} \limits {\Bigl(G[x]S[y]\Bigl),} = \sum_{x} \ limits {G[x]} \max_sum_{y} \textlimits {childS[y]}</tex>. Но еще надо учесть, что <tex> x \ ne y </tex>, следовательно <tex> \sum_{x,y\ ofx \ une y}\limits{dp\Bigl(G[x, 0]S[y]\Bigl)} = \ +sum_{x} \ limits {G[x]} \sum_{y} \textlimits {childS[y]}- \ sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} </tex>. Аналогично для <tex> S[x]S[y] </tex>. Итак: <tex> H[v] = \ ofbiggl(\ u; sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \ v limits {S[y]} - \ne sum_{x }dp\limits {\Bigl(v, 1G[x]S[x]\Bigl)} \ biggl) +\ wbiggl(\sum_{x} \limits {S[u, x] } \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x}\rightlimits {\Bigl(S[x]S[x]\Bigl)}\biggl) </tex>.

Заметим, что вторую формулу можно упроститьОтвет задачи:<br><tex>F[v] = \sum_{x \text{childin Ch(v)}\ limits F[x] + G[v] + H[v] </tex>. Асимптотика каждого слагаемого равна <tex>O \ ofleft ( \ u; sum_{x=1}^n \ v limits \ne left | Ch(x }dp(v, 1) \right | \right ) = dpO \left (un \right )</tex>, где <tex> n </tex> — число вершин в дереве, 0) - dpследовательно и время работы самого алгоритма <tex> O \left (x, 1n \right )</tex>.

Теперь наши формулы имеют вид:<br>== Амортизированные оценки для ДП на дереве =={{Теорема|statement=Пусть какой-либо алгоритм на дереве работает за время <tex>dpO \left (u, 0) = \sum_{left |Ch \text{child}left ( x \ vright) \ ofright |^k \ u}dp(v, 1right )</tex>для вершины x, тогда время обработки им всего дерева не превышает <tex>O \left ( n^k \right )<br/tex>:|proof=<tex>dp(u, 1) = \maxforall x \in \left\{dp1 \dots n \right \}: \left | Ch(u, 0x),\ right | \max_{leqslant n</tex>, поэтому <tex>\textsum_{childx=1}^n \ xlimits \ ofleft | Ch \ u}\{dpleft (x, 0\right )\ +right |^k \leqslant \ dp(u, 0) - dp(sum_{x, =1)}^n \ +limits | Ch \ w[u,left ( x] \right ) | \cdot n^{k-1}=n \right\cdot n^{k-1}=n^k</tex>.}}

Заметим==См. также==* [[Задача коммивояжера, что с помощью этого преобразования мы сократили общее время вычисления с <tex>O(n^2)</tex> до <tex>O(n)</tex>.ДП по подмножествам]]* [[Задача о числе путей в ациклическом графе]]

===Псевдокод=Источники информации== function calculate(v, root): if dp*[v][root] != -1http: return dp[v][root] #вернули уже посчитанное значение dp[v][root] sum1 = 0 #случай 1: не берем ребра из корня if root==0: for u in child(v): sum1 += calculate(u//www.mathnet.ru/links/c14aca73a4926918a879905ffcd4ad7a/timb86.pdf В. В. Лепин, 1) #выполняем мемоизацию dp[vЛинейный алгоритм для нахождения максимального индуцированного паросочетания наименьшего веса в реберно-взвешенном дереве][root] = sum1 return sum1 max1 = dp[v]* [0] #случай 2: берем какое-то ребро for x in child(v)http: max1 = max(max1, calculate(x, 0) + calculate(v, 0) - calculate(x, 1) + w[v,x]) # выполняем мемоизацию dp[v][root] = max1 return dp[v][root//ru.wikipedia.org/wiki/Паросочетание Википедия — Паросочетание]

==Ссылки==[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Динамическое программирование]][[Категория: Другие задачи динамического программирования]]*[http[Категория://www.mathnet.ru/links/502560b495f4a3fab62422161e16895f/timb86.pdf Научная статья, решающая похожую задачу из примера (pdf)Алгоритмы на графах]]