171
правка
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition= '''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа – [[пу…»
{{Определение
|definition=
'''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа – [[путь]] между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.
}}
{{Определение
|definition=
'''Длина пути''' – количество вершин, входящих в последовательность, задающую этот путь.
}}
{{Теорема
|statement=
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.
|proof=
Возьмём любой из существующих путей <math>V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n</math>. Для вершины <math>V_i</math> найдём момент её последнего вхождения в путь – <math>V_j</math> – и, если <math>i \neq j</math>, удалим отрезок пути от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём, и в нём вершина <math>V_i</math> будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины <math>V_0</math> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.
''Альтернативное:''
Выберем из всех путей в графе путь наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <math>V_i</math> и <math>V_j</math>, <math>i < j</math>. Удалим из исходного пути отрезок от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Конечная последовательность также будет путём и станет короче исходной. Значит, исходный путь не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный путь – простой.
}}
|definition=
'''Простой (вершинно-простой) путь''' между двумя вершинами графа – [[путь]] между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.
}}
{{Определение
|definition=
'''Длина пути''' – количество вершин, входящих в последовательность, задающую этот путь.
}}
{{Теорема
|statement=
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.
|proof=
Возьмём любой из существующих путей <math>V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n</math>. Для вершины <math>V_i</math> найдём момент её последнего вхождения в путь – <math>V_j</math> – и, если <math>i \neq j</math>, удалим отрезок пути от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём, и в нём вершина <math>V_i</math> будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины <math>V_0</math> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.
''Альтернативное:''
Выберем из всех путей в графе путь наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <math>V_i</math> и <math>V_j</math>, <math>i < j</math>. Удалим из исходного пути отрезок от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Конечная последовательность также будет путём и станет короче исходной. Значит, исходный путь не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный путь – простой.
}}
