Изменения

Не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она однозначной (''ambiguous unambiguous grammar'').

Будем доказывать от противного. Для этого произведем [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблемы соответствий поста]] (''post correspondence problem'') к множеству решений нашей задачи. А так как множество решений ПСП неразрешимо, то из m-сведения будет следовать неразрешимость нашей задачи.

Пусть <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит для постовской системы соответствия экземпляра ПСП <tex>(x_1,\,x_2,\,...,\,x_n)</tex>, <tex>(y_1,\,y_2,\,...,\,y_n)</tex>. Рассмотрим грамматику <tex>L=\{\Sigma^{*}, N, P, S\}</tex>, где <tex> \Sigma^{*}= \Sigma+\{z_i\}</tex> и <tex>\{z_i\}=\{z_1,\,z_2,\,...,\,z_n\}</tex> {{---}} множество символов, не встречающихся в алфавите <tex> \Sigma</tex>. Символы <tex> \{z_i\} </tex> можно воспринимать как номера правилаправил, по которым мы будем выводить слова в нашей грамматике.

<tex>S \Rightarrow rightarrow A </tex> <tex> | B </tex>

<tex>A \Rightarrow rightarrow x_iAz_i</tex>

<tex>A \Rightarrow rightarrow \varepsilon</tex>

<tex>B \Rightarrow rightarrow y_iBz_i</tex>

<tex>B \Rightarrow rightarrow \varepsilon</tex>

Заметим, что любое слово <tex>w</tex>, выводимое в этой грамматике, может быть представлено в виде <tex>w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex> или <tex>w=y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex>, причем , если <tex>L</tex> неоднозначна, то слово можно вывести двумя способами, и тогда <tex>w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1} = y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex>. Так как это одно и тоже слово, то все <tex> z_{i} </tex> в этом слове равны. А каждое <tex> z_{i} </tex> однозначно задает правило, по которому мы выводили слово. Значит, если бы мы умели решать сформулированную нами ПСП, то могли бы сказать однозначна грамматика или нет. То есть, если ПСП имеет решение, то мы можем восстановить два вывода слова. Если ПСП не имеет решения, то значит грамматика однозначна и не существует два вывода одного и того же слова. Таким образом, мы получили [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений ПСП к множеству решений нашей задачи. А это значит, что задача об однозначности грамматики неразрешима.

Таким образом, если бы мы умели решать сформулированную нами ПСП, то могли бы сказать, однозначна грамматика или нет. То есть, если ПСП имеет решение, то мы можем восстановить два вывода слова. Если ПСП не имеет решения, то грамматика однозначна и не существует двух выводов одного и того же слова. Таким образом, мы получили [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений ПСП к множеству решений нашей задачи. А это значит, что задача об однозначности грамматики неразрешима. Получили, что не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она однозначной.