355
правок
Изменения
Новая страница: «=== Равномерно сходящийся ряд === Неправильное определение. Нужно расписывать через ряды, ...»
=== Равномерно сходящийся ряд ===
Неправильное определение. Нужно расписывать через ряды, а не функции.
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}
=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:
1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>
2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}
=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.
=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}
=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}
=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>
<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}
=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}
=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}
=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что
<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,
то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}
=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}
=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}
=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}
=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}
=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.
Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}
=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}
=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}
=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.
=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:
<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>
С остатком в интегральной форме:
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>
Формула в дифференциалах:
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>
Формула в координатах:
<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>
=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:
<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>
<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>
<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>
<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}
=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}
=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:
<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;
<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.
Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}
=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. <br>
1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. <br>
2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. <br>
3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. <br>
4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}
=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}
=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.
<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>
<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>
Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}
=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}
=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}
Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}
=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:
1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;
2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;
3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;
4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}
=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное
<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)
<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}
=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля
<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>
Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}
=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}
=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}
=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}
=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}
=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}
=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}
=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}
== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>
По определению:
<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.
[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].
Нормальное доказательство:
Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.
Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:
<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>
Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.
=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>
=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.
Неправильное определение. Нужно расписывать через ряды, а не функции.
{{Определение
|definition=
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
}}
=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:
1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>
2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
}}
=== Радиус сходимости степенного ряда ===
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.
=== Формула Адамара ===
{{Определение
|definition=
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
}}
=== Комплексная производная ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} </tex>. Тогда <tex> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </tex>.
}}
=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
{{Определение
|definition=
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>
<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) </tex>
}}
=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
}}
=== o(h) при h->0 ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
}}
=== Дифференцируемое отображение ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что
<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,
то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}
=== Производный оператор ===
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
}}
=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}
=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
=== Частные производные ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
}}
=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
}}
=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.
Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона''' или '''оператором Набла'''.
}}
=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
{{Определение
|definition=
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
}}
=== Классы функций $C^k(E)$ ===
{{Определение
|definition=
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
}}
=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
{{Определение
|definition=
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
}}
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.
=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
Из теорем:
<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>
С остатком в интегральной форме:
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>
Формула в дифференциалах:
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>
Формула в координатах:
<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>
=== $n$-й дифференциал ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:
<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>
<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>
<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>
<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
}}
=== Норма линейного оператора ===
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| </tex>.
}}
=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:
<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;
<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.
Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
}}
=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. <br>
1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. <br>
2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. <br>
3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. <br>
4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
}}
=== Диффеоморфизм ===
{{Определение
|definition=
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в <tex> O </tex>, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
}}
=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.
<tex> \begin{cases}
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
... \\
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
\end{cases} </tex>
<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
\ & ... & \ \\
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
\end{pmatrix} </tex>
Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
}}
=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
{{Определение
|definition=
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
}}
=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
}}
Или в стиле определения обычного экстремума:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
}}
=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:
1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;
2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;
3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;
4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
}}
=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Определение
|definition=
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное
<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)
<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
}}
=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля
<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>
Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
}}
=== Потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
}}
=== Потенциал векторного поля ===
{{Определение
|definition=
<tex> F </tex> из предыдущего определения — потенциал.
}}
=== Похожие пути ===
{{Определение
|definition=
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
}}
=== Локально-потенциальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
}}
=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
{{Определение
|definition=
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
}}
=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
}}
=== Односвязная область ===
{{Определение
|definition=
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
}}
== Примеры ==
=== Производная линейного отображения ===
<tex>L'(x) = L</tex>
По определению:
<tex>L(x + h) - L(x) = L(h)</tex>
=== Правило цепочки: запись в координатах ===
=== n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность ===
Равносторонний <tex>n</tex>-угольник.
[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].
Нормальное доказательство:
Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.
Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:
<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>
Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в пределах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.
=== Непотенциальное векторное поле ===
Любое отображение, для которого <tex>\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}</tex> для каких-нибудь i и j.
Например, <tex>F(x, y, z) = (xy, xz, yz)</tex>: <tex>\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z</tex>
=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.
