Изменения

|proof=

{{TODO|t=Упражнение, доказать самим. Необходимо заткнуть.}}

Некоторые идеи:

: Можно заметить, что в ядре только нулевой вектор, в противном случае получим <tex> 0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого также следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Вообще если бы мы могли показать, что из того, что размерность ядра равна 0 следует, что образ совпадает с <tex>Y</tex>, было бы неплохо. (upd: видимо, это неправда, рассмотрим оператор из R^n -> R^{n+1}, действующий как I, но дописывающий к последней координате 0). Тогда бы у нас оператор был взаимо однозначным, мы бы определили <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>Y</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрели <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>.