355
правок
Изменения
Нет описания правки
По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: r \le \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r + \varepsilon</tex>.
Любое <tex n > n_0n</tex> представим как <tex>n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>q_n = 0, 1, \ldots, n_0 - 1</tex>.
Таким образом, <tex>\|A^n\| = \|A^{p_n n_0 + q_n}\| \le \|A^{p_n n_0}\| \|A^{q_n} \|\le \|A^{n_0}\|^{p_n} \|A\|^{q_n}</tex>
Значит, <tex>{\|A^n\|}^{\frac{1}{n}} \le {\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{n}} {\|A\|}^{\frac{q_n}{n}}</tex>.
Рассмотрим <tex>{\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_0}{n}} = {\|A^{n_0}\|}^{\frac{n_0p_0}{p_n n_0 + q_n}} \le {\|A^{n_0}\|}^{\frac{n_0p_0}{p_n n_0}} = \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r+ \varepsilon</tex>.
Теперь рассмотрим <tex>\frac{q_n}{n} \le \frac{n_0 - 1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|A\|^{\frac{q_n}{n}} \to 1</tex>, то есть, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n \forall n' > n: \|A\|^{\frac{q_{n'}}{n'}} \le 1 + \varepsilon</tex>.
