Изменения

Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, действующий на все <tex>Y</tex>, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.

{{TODO|t=Упражнение, доказать самим. Необходимо заткнуть.}}Есть в Люстерике, Соболеве. стр.153 (1965г)Некоторые идеи:: Можно заметитьЗаметим, что в ядре только нулевой векторэлемент, в противном случае получим : пусть <tex>x \ne 0</tex>, тогда <tex> 0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого также следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Если бы у нас была сюръективностьТак как для каждого <tex>y \in Y \exists x: A x = y</tex>, то есть оператор был бы взаимо однозначным биективен, мы бы определили определим <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>Y</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрели рассмотрим <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>. Но вроде ничего про нее в формулировке нет: Также можно заметить, что это отображение допускает априорную оценку решения, так как <tex>\|x\| \le \frac{1}{m} \|A x\|</tex>, из чего по уже доказанному следует замкнутость образа (неясно только нафига это может понадобиться) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:16, 9 января 2013 (GST)