Изменения

Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, действующий на все <tex>Y</tex>, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратимна <tex>R(A)</tex>.

Заметим, что в ядре только нулевой элемент, в противном случае: пусть <tex>x \ne 0</tex>, тогда <tex>0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Так как для каждого строим обратный оператор на <tex>R(A)</tex>, <tex>\forall y \in Y R(A) \exists x: A x = y</tex>, то есть оператор биективенна области значений, определим <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>YR(A)</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрим <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>.