Изменения

{{В разработке}}

Все рассматриваемые здесь функции действуют из подмножества <tex> \mathbb {N}^t </tex> в <tex> \mathbb {N} </tex>, где <tex> t </tex> - любое натуральное число.Также будем считать что <tex> 0</tex> натуральное число.

Рассмотрим следующие правила преобразования функций:

В дальнейшем вместо <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_k) </tex> будем писать просто <tex> x_k </tex>, подразумевая требуемое нам <tex> n </tex>.

<tex> \textbf 0 </tex> - функция нуля аргументов.

<tex> \textbf M^n </tex> - n местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.

<tex> sum(x,0) = x </tex>

<tex> sum(x,y+1) = h(x,y,sum(x,y)) </tex> , где <tex> h(x,y,z)=I(z) </tex>

<tex> prod(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex>

<tex> prod(x,y+1) = h(x,y,prod(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z)=sum(x,z) </tex>

Если <tex> x < y </tex>, то <tex> sub(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> sub(x,y) = x - y </tex>.

<tex> sub(x,y+1) = h(x,y,sub(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) =sub_1(z) </tex>

<tex> eq(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> eq(x,y) = 0 </tex>

<tex> lower(x,y) = mul(le(x,y),le(I(x),y)) </tex>

<tex> if(0,x,y) = y </tex>

<tex> if(c+1,x,y) = h(c,x,y,if(c,x,y)) </tex> , где <tex> h(c,x,y,d) = x </tex>

<tex> divide(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> divide(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.

<tex> mod(x,y) = sub(x,mul(y,divide(x,y))) </tex>

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - того простого числа.

Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i - i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того

элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

{{Теорема

|statement= Если для вычислимой функции <tex> F </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> T </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество за которое будет посчитана <tex> F(x) </tex> на [[MT|Машина Тюринга]] равно <tex> T(args) </tex>, то <tex> F </tex> примитивно рекурсивная функция.