Изменения
Нет описания правки
Пусть дан массив <tex> A </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> a_i, i = \overline{0, n} </tex>.<br/>
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> T_i = \sum\limits_{k = F(i) + 1}^{i} a_k, i = \overline{0, n} </tex>, где <tex> F(i) </tex> - некоторая функция.
От выбора функции зависит время работы операций над деревом. Рассмотрим функцию, позволяющую делать обе операции за время <tex> O(\log n) </tex>.
|statement=
Нам надо научиться быстро изменять частичные суммы в зависимости от того, как изменяются элементы. Рассмотрим как изменять величину <tex>a_{k}</tex> на величину <tex>d</tex>.
Необходимо изменить элементы дерева <tex>T_{i}</tex>, для которых верно неравенство <tex>F(i) < \leq k \leq i</tex> .
|proof=
<tex> T_i =\sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k , i = \overline{0, n} \Rightarrow</tex> необходимо менять те <tex>i</tex>, для которых <tex>a_{k}</tex> попадает в <tex>T_i \Rightarrow</tex> необходимые <tex> i </tex> удовлетворяют условию <tex>F(i) < k <= i</tex>.
{{Лемма
|statement= Можно перебрать все <tex> i </tex>, попадающие под неравенство по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} | (i_{prev} + 1) </tex>.
|proof=Первый элемент последовательности само <tex> k </tex>. Для него выполняется равенство, так как <tex> F(i) < i </tex>. По формуле <tex>i_{next} = i_{prev} | (i_{prev} + 1) </tex> мы заменим первый ноль на единицу. Неравенство при этом сохранитьсясохранится, так как <tex>F(i)</tex> осталось прежним, а <tex> i </tex> увеличилось. Можем заметить, что если количество единиц в конце не будет совпадать с <tex> k </tex>, то формула <tex>i_{next} = i_{prev} | (i_{prev} + 1) </tex> нарушит неравенство, потому что либо само <tex> i </tex> будет меньше, чем k, либо <tex> F(i) </tex> станет больше, чем <tex> k </tex>. Таким образом, перебраны будут только нужные элементы}}
Все <tex>i</tex> мы можем получить следующим образом : <tex>i_{next} = i_{prev} | (i_{prev} + 1) </tex>, Где под | понимают побитовое ИЛИ. Следующим элементом в последовательности будет элемент, у которого первый с конца ноль превратится в единицу. Можно заметить, что если к исходному элементу прибавить единицу, то необходимый ноль обратится в единицу, но при этом все следующие единицы обнулятся. Чтобы обратно их превратить в единицы, применим операцию побитового ИЛИ. Таким образом все нули в конце превратятся в единицы и мы получим нужный элемент. Для того, чтобы понять, что эта последовательность верна, достаточно посмотреть на таблицу.
