689
правок
Изменения
м
{{В разработке}}
Нет описания правки
{{Определение
|id=defvs
2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>
Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, воспользуемся [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях | теоремой Хаусдорфа]] и покажем: {{TODO|t=если кому-то не лень, может потренироваться и расписать поформальнее}}
* замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1.
* вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то <tex>\varepsilon</tex>, заметим что норма <tex>\|\|_2</tex> — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде <tex>[0; 1]^n</tex> n-мерную сетку с шагом <tex>\frac{\varepsilon}{\sqrt n}</tex>, которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром
