Изменения

==Толстое дерево (статья пишется - ничего не трогать!)== 

Определяем '''толстое дерево''' (англ. ''Thick tree'') <tex>F_k</tex> ранга <tex>k</tex>, <tex>~(k = 0, 1, 2, \dots ldots )</tex> следующим образом:

*Толстое дерево <tex>F_k</tex> ранга <tex>k</tex>, для <tex>k = 1, 2, 3,\dots ldots </tex>, состоит из трех деревьев <tex>F_{k-1}</tex> ранга <tex>k-1</tex>, связанных тактаких, что корни двух из них являются самыми левыми потомками корня третьего.Ранг узла <tex>x</tex> в толстом дереве определяется как ранг толстого поддерева с корнем в узле <tex>x</tex>.

//[[Файл:ThickTreeExample.gif Пример ===Свойства толстых деревьев <tex>F_0, F_1, F_2, F_3</tex>]]===

{{Утверждение|id=proposal1. |author= Свойства Толстых деревьев |about=|statement=В толстом дереве ранга <tex>k</tex> ровно <tex>3^k</tex> узлов.|proof=}}{{Определение|id=thin_forest_def|definition='''Толстый лес''' (англ. ''Thick forest'') {{---}} это набор толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны.}}

'''Свойства толстых деревьев:''' <br>*В толстом дереве ранга <tex>k</tex> ровно <tex>3^k</tex> узлов. <br>*Для любого натурального числа <tex>n</tex> существует лес из толстых деревьев, в котором ровно <tex>n</tex> узлов. Такой |proof= Действительно, такой лес можно построить, включив в него столько деревьев ранга <tex>i</tex>, каково значение <tex>i</tex>-го разряда представления числа <tex>n</tex> в троичной системе счисления. Заметим, что для построения такого леса можно использовать и избыточные троичные представления.*}} {{Утверждение|id=proposal1. |author=|about=|statement=Толстый лес из <tex>n</tex> узлов содержит <tex>O(n\log({n)})</tex> деревьев.

'''лесЛес''' будем называть '''нагруженным''', если он состоит из нескольких толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны и узлам которых взаимно однозначно поставлены в соответствие элементы взвешенного множества.

'''Узел''' (англ. ''Node'') в '''нагруженном лесе''' назовем '''неправильным''', если его ключ меньше ключа его родителя.

 =Толстые кучи=Здесь и далее ''Толстая куча на избыточном счетчике'' будет заменено на более лаконичное ''Толстая куча''.

'''Толстая куча''' (англ. ''Thick heap, Fat heap'') — это '''почти кучеобразный''' '''нагруженный лес'''.

==Представление толстой кучи= Структура узла ===

* '''struct''' Node '''int''' key <texspan style="color:#008000">Key< //tex> {{---}} ключ элемента, приписанного узлу дерева</span>* '''Node''' parent <texspan style="color:#008000">Parent< //tex> {{---}} указатель на родителяузла</span>* '''Node''' left <texspan style="color:#008000">Lest< //tex> {{---}} указатель на ближайшего левого братаузла</span>* '''Node''' right <texspan style="color:#008000">Right< //tex> {{---}} указатель на ближайшего правого братаузла</span>* '''Node''' lChild <texspan style="color:#008000">LChild< //tex> {{---}} указатель на самого левого сына*<tex>Rank</texspan> {{---}} ранг узла. "Братья" связаны в двусвязный список при помощи указателей <tex>Left '''int''' rank </tex> и <tex>Right</tex>. У самого левого (правого) span style="братаcolor:#008000" в этом списке указатель <tex>Left< /tex> (<tex>Right</tex>) равен <tex>NULL</tex>. //[[Файл:ThickTreeExample.gif Пример толстых деревьев <tex>F_0, F_1, F_2, F_3ранг узла</texspan>]]

=Вспомогательные структуры=Нам понадобятся понятия '''корневого счетчика''' "Братья" (узлы корневых деревьев, а также сыновья каждого узла) объединены в двусвязный список при помощи указателей <tex>left</tex> и '''счетчика нарушений'''<tex>right</tex>. У самого левого (правого) "брата" в этом списке указатель <tex>left</tex> (<tex>right</tex>) равен <tex>NULL</tex>.

'''struct''' FatHeap '''int[]''' rootCount <texspan style="color:#008000">RootCount // массив, соответствующий корневому счетчику</texspan> '''int[]''' countViolation <span style="color:#008000"> {{---}} // массив, соответствующий счетчику нарушений</span> '''Node''' minPointer <span style="color:#008000"> // указатель на элемент кучи с минимальным ключом</span> '''корневому счетчикуint'''maxRank <span style="color:#008000"> // наибольший ранг среди рангов деревьев, присутствующих в куче</span>[[Файл:FatHeapExample.png |400px|thumb|center|Представление леса списком]]

{{Определение|id=|neat = |definition='''Избыточным''' <tex>b</tex>-арным представлением числа <tex>x</tex> будем называть последовательность <tex>MinPointerd = d_n, d_{n-1}, \ldots, d_0</tex> , такую что<tex dpi = "120">x = {\sum\limits^{n}_{i = 0} {---d_i}}{b^i} указатель на элемент кучи с '''минимальным ключом'''</tex>

где <tex>MaxRankd_i \in \{0, 1, \ldots, b\} </tex> , <tex> i \in \{{---0, 1, \ldots, n\} </tex>}} '''наибольший ранг''' среди рангов деревьев, присутствующих в куче

{{Определение|id=|neat =Избыточное |definition=Назовем <tex>b</tex>-арное избыточное представление чисел==числа '''регулярным''', если в нем между любыми двумя цифрами, равными <tex>b</tex> , найдется цифра, отличная от <tex>b-1</tex>.}}

Избыточным Пусть <tex>L(i)</tex> — номер разряда, отличного от <tex>b-1</tex> и ближайшего слева от <tex>i</tex>-арным представлением числа го разряда в регулярном <tex>xb</tex> будем называть последовательность -арном избыточном представлении <tex>d = d_n, d_\ldots, d_0</tex>.<br>'''Прямой указатель''' <tex>L'(i)</tex> определим следующим образом: *<tex>L'(i) = L(i)</tex> , если <tex>d_i \in \{nb-1, b-2\}</tex> и <tex>d(L(i))=b</tex>;*<tex>L'(i)</tex> — произвольное число <tex>>i</tex>, если <tex>d_i \in \{b-1, ... d_0b-2\}</tex> и <tex>d(L(i))<b-1</tex>; *<tex>L'(i)</tex> — не определено, такую чтоесли <tex dpi = "150">x = d \notin \{b-1, b-2 \sum}</tex> .}} ===Фиксация цифры===Фиксацией цифры <tex>b</tex>, стоящей в <tex>i</tex>-м разряде представления <tex>d</tex>, назовем операцию <tex>\limits^mathrm{nfix(i)}_</tex>, заключающуюся в обнулении цифры <tex>d_i</tex> и инкрементировании цифры <tex> d_{i+1} </tex>, при этом если <tex>i = 0} n</tex> , то полагаем <tex>d_{d_i}i+1}= 1</tex>. При каждом выполнении операции фиксации будем обновлять значение <tex>L'(i)</tex>. Очевидно, при <tex>b>2</tex> операцию <tex>\mathrm{b^fix(i)}</tex> можно выполнить следующим образом: '''void''' fix('''int''' i): '''if''' d[i] == b d[i] = 0 d[i + 1]++ '''if''' d[i + 1] == b - 1: L'[i] = L'[i + 1] '''else''' L'[i] = i + 1

где ===Инкремент===Операцию <tex> d_i \in \mathrm{0, 1, ..., b\inc(i)} </tex>, инкрементирования <tex>i</tex>-й цифры избыточного представления <tex>d</tex> можно выполнить так: '''void''' inc('''int''' i \in \{0, ): fix(i) '''if''' (d[i] == b - 1) '''or''' (d[i] == b - 2) fix(L'[i]) d[i]++ fix(i) ===Декремент=== Эта схема может быть расширена для выполнения за константное время декрементирования произвольной цифры добавлением дополнительного цифрового значения <tex>b+1, ..</tex>. Представление приоритетной очереди основано на использовании так называемых '''избыточных счетчиков''', n\} позволяющих за время <tex>O(1)</tex>}}инкрементировать любой разряд. Заметим, что использованные здесь счетчики — лишь '''один из способов реализации''' толстых куч. На самом деле, для их реализации подойдет '''произвольный d-арный''' счетчик, при условии, что трудоемкость инкрементирования любого его разряда является константной.

Списочный элемент, приписанный <tex>i</tex>-му разряду избыточного корневого представления, — это указатель на список деревьев ранга <tex>i</tex>, присутствующих в куче, образованный посредством указателей <tex>Rightright</tex> корневых узлов связываемых деревьев.

'''корневой Корневой счетчик''' представляем расширяющимся массивом <tex>RootCount\mathtt{rootCount}</tex> , каждый элемент которого — запись с тремя полями:*<tex>RootCount\mathtt{rootCount[i].Value}</tex> {{---}} <tex>i</tex>-й разряд равный количеству деревьев ранга <tex>i</tex>.*<tex>RootCount\mathtt{rootCount[i].ForvardPointerforwardPointer}</tex> {{---}} прямой указатель <tex>i</tex>-го разряда.*<tex>RootCount\mathtt{rootCount[i].ListPointerlistPointer}</tex> {{---}} указатель на список деревьев ранга <tex>i</tex>, присутствующих в толстой куче. Деревья в этом списке связаны при помощи указателя <tex>Right</tex> корневых узлов связываемых деревьев. Если в куче нет деревьев ранга <tex>i</tex> , то указатель <tex>ListPointer\mathtt{listPointer}</tex> равен <tex>NULL</tex>. ''Заметим, что если значение равно нулю, то нам неважно значение указателя'' <tex>RootCount\mathtt{rootCount[i].ListPointerlistPointer}</tex>.

Чтобы время инициализации счетчиков было <tex>O(1)</tex>, используем '''поразрядную''' их инициализацию. То есть будем добавлять новые разряды только тогда, когда возникает такая необходимость, и при этом инициализировать новый разряд сразу в обоих счетчиках. Для этого мы вводим переменную <tex>MaxRank\mathtt{maxRank}</tex>, которая показывает нам, какая часть массивов счетчиков используется в данный момент.

Обновление прямого указателя <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика заключается в выполнении следующего псевдокода:<code> '''void''' updateForwardPionter('''int''' i): '''if (RootCount''' rootCount[i+1].Value==3-1) RootCountrootCount[i].ForwardPointer :forwardPointer = RootCountrootCount[i+1].ForwardPointer;forwardPointer '''else''' RootCountrootCount[i].ForwardPointer :forwardPointer = i + 1;</code>

Корректировка списочной части <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика при вставке в кучу нового дерева ранга <tex>i</tex> ~(<tex>InsertTree\mathrm{insertTree(i,p)})</tex>). Эта процедура вставляет новое дерево ранга <tex>i</tex> (на него указывает указатель <tex>p</tex>) в списочную часть <tex>i</tex> -го разряда корневого счетчика <tex>RootCount\mathtt{rootCount}</tex> выглядит так: '''void''' insertTree('''int''' i, '''Node''' p):<code> p1 := RootCountrootCount[i].ListPointer;listPointer '''if(RootCount''' rootCount[i].Value != <tex> \ne </tex> 0) p.Right right = p1; '''else''' p.Right right = NULL; p.Left :left = NULL; RootCount rootCount[i].ListPointer :listPointer = p;</code> 

Корректировка списочной части <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика при удалении из кучи дерева ранга <tex>i</tex> ~(<tex>DeleteTree\mathrm{deleteTree(i,p)})</tex>). Эта процедура удаляет дерево ранга <tex>i</tex> (на него указывает указатель <tex>p</tex>) из списочной части <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика <tex>RootCount\mathtt{rootCount}</tex> . Будем считать, что указанное дерево присутствует в куче. Процедура заключается в выполнении следующего псевдокода: '''void''' deleteTree('''int''' i, '''Node''' p):<code> p1 := RootCountrootCount[i].ListPointer;listPointer '''if(''' p1 == p) RootCountrootCount[i].ListPointer :listPointer = p.Right;right j:= 1; '''while''' (j<=RootCounttex> \leqslant </tex> rootCount[i].Value) '''and ''' (p1.Right != right <tex> \ne </tex> p) do: j++ p1 = p1.right p1.Right right = p.Right;</code>right

'''Связывание''' <tex>(Fastening \mathrm{fastening (p1, p2, p3))}</tex> трех толстых деревьев ранга <tex>i</tex> в одно толстое дерево ранга <tex>i+1</tex>. Эта функция принимает три указателя <tex>(p1, p2 ,p3)</tex> на три разных толстых дерева одного и того же ранга <tex>i</tex> и возвращает указатель на вновь сформированное дерево ранга <tex>i+1</tex> .

Функция <codetex> if\mathrm{minKeyNodeRoot(p1.Key<=p2.Keyp) and (p1.Key}<=p3.Key) MinP := p1; p1 := p2; p2 := p3; if(p2.Key/tex>, которая по указателю <=p1.Key) and(p2.Keytex>p<=p3.Key) MinP := p2; p1 := p1; p2 /tex> на списочную часть разряда корневого счетчика возвращает указатель на корневой узел с минимальным ключом:= p3; if'''Node''' minKeyNodeRoot(p3.Key<=p1.Key'''Node''' p) and(p3.Key<=p2.Key) MinP := p3; p1 := p1;p p2 : minP = p2; p1.Right := p2; '''while''' p1.Left := <tex> \ne </tex> NULL; '''if''' p1.Parent := MinP; p2key < minP.Right :=MinP.LChild;key p2.Left : minP =p1; p2.Parent := MinP; if(MinP.LChild != NULL) MinP.LChild.Left = p2; MinP.LChild : p1 = p1; MinP.Rank := MinP.Rank+1; MinP.Right := NULL;right MinP.Left := NULL; Fastening := MinP; </code> '''return''' minP

===Значение ключа элемента по указателюОперация фиксации ===Функция Операция фиксации <tex>GetKey\mathrm{rmFixRootCount(pi)}</tex> для <tex>i</tex>-го разряда корневого счетчика подразумевает, что его значение равно трем, а списочная часть содержит указатель на список деревьев ранга <tex>i</tex> по указателю p , состоящий ровно из трех деревьев. При выполнении этой операции значение в <tex>i</tex>-м разряде — должно стать равным нулю, а значение в <tex>i</tex>-м разряде увеличиться на единицу. То есть в куче не должно остаться деревьев ранга <tex>i</tex>, а количество деревьев ранга <tex>i+1</tex> должно увеличиться на элемент определяет единицу. Для этого следует удалить из кучи три присутствующих в ней дерева ранга <tex>i</tex> , связать их в дерево ранга <tex>i+1</tex> и вставить вновь полученное дерево в кучу.Следует учесть, что ранг нового дерева может стать больше, чем <tex>\mathtt{maxRank}</tex>, что потребует инициализации нового разряда. Для этого необходимо увеличить значение его ключа:<tex>\mathtt{maxRank}</tex> на единицу и заполнить новое поле, а также провести инициализацию нового разряда. '''void''' rmFixRootCount('''int''' i) '''if''' maxRank == i maxRank = i + 1 rootCount[i + 1].Value = 0 countViolation[i + 1].Value = 0 '''else''' updateForwardPointer(i + 1) rootCount[i].Value = 0 p1 = rootCount[i].listPointer p2 = p1.right p3 = p2.right p = fastening(p1, p2, p3) rootCount[i].listPointer = NULL insertTree(i + 1, p) rootCount[i + 1].Value = rootCount[i + 1].Value + 1

===Инкрементирование i-го разряда корневого счетчика===По сравнению с описанным алгоритмом инкрементирования <tex>i<code/tex>-го разряда избыточного представления здесь мы должны учесть работу со списочной частью и обновить прямые указатели. '''void''' rmIncRootCount('''int''' i, '''Node''' p) '''if''' (p rootCount[i].Value == 1) '''or''' (rootCount[i].Value == NULL2) Min :'''if''' rootCount[rootCount[i].forwardPointer].Value == <tex>\infty</tex>3 fixRootCount(rootCount[i].forwardPointer); else '''if''' rootCount[i].Value == 3 Min :fixRootCount(i) insertTree(i, p) rootCount[i].Value = prootCount[i].key;Value + 1 updateForwardPointer(i) GetKey : '''if''' rootCount[i].Value == Min; 3</code> fixRootCount(i)

===Узел с минимальным ключомУдаление дерева из кучи===Процедура удаления дерева из кучи подразумевает наличие в куче этого дерева. Пусть удаляемое дерево имеет ранг <tex>i</tex> . Тогда значение <tex>i</tex>-го разряда избыточного корневого представления не равно нулю. То есть уменьшение этого значения на единицу не испортит регулярности представления и не потребует обновления каких-либо указателей. Необходимо лишь соответствующим образом обработать списочную часть. '''void''' delete('''int''' i, '''Node''' p): deleteTree(i, p) rootCount[i].Value = rootCount[i].Value - 1

Функция ===Нахождение дерева с минимальным ключом в корне <tex>MinKeyNodeRoot\mathrm{minKey(p)}</tex>, которая по указателю <tex>p</tex> на списочную часть разряда корневого счетчика возвращает указатель на корневой узел с минимальным ключом:===<code> '''Node''' minKey() p1: minP =p;NULL MinP '''for''' i = 0 to maxRank:= p1; while ( p1 != NULLminKeyNodeRoot(rootCount[i].listPointer) do '''if''' getKey(p1.Key ) < MinP.KeygetKey(minP) MinP := p1; p1 : minP = p1.Right; MinKeyNodeRoot := MinP;</code> '''return''' minP

'''Счетчик нарушений''' представлен [[Саморасширяющийся массив|Саморасширяющимся саморасширяющимся массивом]], элементы которого состоят из четырех полей:*<tex>CountViolation\mathtt{countViolation[i].Value}</tex> {{---}} количество неправильных узлов ранга <tex>i</tex> в куче.*<tex>CountViolation\mathtt{countViolation[i].ForvardPointerforvardPointer}</tex> {{---}} прямой указатель <tex>i</tex>-го разряда*<tex>CountViolation\mathtt{countViolation[i].FirstViolationfirstViolation}</tex> {{---}} указатель на неправильный узел ранга <tex>i</tex>*<tex>CountViolation\mathtt{countViolation[i].SecondViolationsecondViolation}</tex> {{---}} указатель на неправильный узел ранга <tex>i</tex> 

Для '''инициализации''' нового звена в счетчике нарушений необходимо лишь занулить его значение в новом разряде. Делается это только тогда, когда мы вводим в кучу новое дерево ранга <tex>MaxRank \mathtt{maxRank + 1}</tex>. Это первый момент появления в куче узла ранга <tex>MaxRank \mathtt{maxRank + 1}</tex>. Для тех нарушений, которые могут возникнуть в узлах ранга меньше либо равного <tex>MaxRank \mathtt{maxRank + 1}</tex>, соответствующие разряды счетчика нарушений уже инициализированы, а узлов большего ранга в куче пока нет.

==Основные операции==* Рассмотрим операции, которые можно производить с толстой кучей. Время работы основных операций указано в таблице:{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF! Операция || Время работы |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{makeHeap}</tex>MakeHeap||<tex>O(1)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{{---}findMin}</tex>||<tex>O(1)</tex>заключается в инициализации счетчиков. |-align="center" bgcolor=#FFFFFF* ||<tex>FindMin\mathrm{insert(key)}</tex>||<tex>O(1)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{{---}decreaseKey}</tex>||<tex>O(1)</tex>возвращает указатель на минимальный элемент. |-align="center" bgcolor=#FFFFFF* |<tex>Insert\mathrm{deleteMin}</tex>||<tex>O(\log(keyn))</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{delete}</tex>||<tex>O(\log(n))</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{---}meld(h1, h2)} </tex>||<tex>O(1\log(n))</tex>|} ===makeHeap===Заключается в инициализации счетчиков. ===findMin===Возвращает указатель на минимальный элемент. ===insert(key)===

==Источникиинформации==* [http://www.intuit.ru/studies/courses/100/100/lecture/15432935?page=1 INTUIT.ru {{---}} Толстые кучи ]* [https://www.lektorium.tv/lecture/14234 CS center {{---}} Приоритетные очереди]* [http://www.cs.tau.ac.il/~haimk/papers/newthin1.pdf H.Kaplan, R.Tarjan. "Thin Heaps, Thick Heaps". — INTUIT.ru2006]