668
правок
Изменения
→Построение кучи за O(N)
|statement= Время работы этого алгоритма <tex> O(N) </tex>.
|proof=
Число вершин на высоте <tex>h</tex> в куче из n элементов не превосходит <tex dpi = "160"> \left [ \frac{n}{2^h} \right ] </tex>. Высота кучи не превосходит <tex> \log_{2} n </tex> . Обозначим за <tex> H </tex> высоту дерева, тогда время построения не превосходит <tex dpi = "160"> \sum_{h = 1}^H \limits\frac{n}{2^h} \cdot h = n \cdot {\sum_{h = 1}^H \limits}\frac{h}{2^h} </tex>
<tex dpi = "150"> {\sum_{h = 1}^\infty \limits}\frac{h}{2^h} = 2 </tex> (известная сумма из матанализа)
Обозначим сумму ряда за <tex> S </tex>. Заметим что,
Получается <tex> S = \frac{1}{2} \cdot S + 1</tex> (так как <tex>n >0</tex>) Получаем, что сумма ряда равна 2.
Откуда и получаем оценку <tex> O(N) </tex>
