1302
правки
Изменения
→Естественное вложение
Покажем, что между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex> \forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex>— функционал, тогда заданный на <tex>E</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> {{---}} — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
<tex> C[0, 1] </tex> {{---}} — не является рефлексивным.
== Сопряженный оператор ==
