40
правок
Изменения
Важный Факт Номер Один
== Теорема Шаудера ==
Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x =x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себяЯ, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c =f(c) </tex>. Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра: {{Теорема|author= Брауэр|about=о неподвижной точке|statement=Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>. }} Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера: {{Определение|definition=Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>. <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex> в себя. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>. }} {{Теорема Брауэра |author=Шаудер|about=о неподвижной точке|statement=Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* =Tx^* </tex>.}} Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэера. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.
=== Вспомогательные факты ===
{{Утверждение
|about=Факт Первый
|statement=
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).
Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.
|proof=
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.
По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.
<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.
<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной непрерывности. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети.
Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.
}}
=== Проекторы Шаудера ===
