Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
|proof=
По общим фактам о пектре Так как спектр линейного ограниченного оператора, [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\lambda \in \sigma(A) \implies |\lambda| \le \|A\| \implies </tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>. Проверим, что Рассмотрим <tex>\forall \alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha\ldots\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть обратноеим соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>. Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое. занумеруем их: <tex>\lambda_n \neq \lambda_m</tex>. <tex>x_n</tex>— собственные вектора.
<tex>\lambda_n \geq \alpha > 0</tex>
<tex>L_n = \mathcal{L} \{ x_1,\ldots, x_n \}</tex>. Очевидно, что <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex>. Проверим, что включения строгие.
