1679
правок
Изменения
→Альтернатива Фредгольма-Шаудера
|proof=
<wikitex>
# $\operatorname{Ker} T = \{0\}$, то есть $R(T) = X$ и тогда $y = Tx$ действительно разрешимо для всех $xy$
# $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$, тогда $R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$ ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по общим теоремам о сопряженном операторе ({{TODO|t=каким?}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$. Рассмотрим $y = Tx$, очевидно, оно разрешимо, когда $y \in R(T)$, то есть $y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$
</wikitex>
}}
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. # <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.# <tex>\operatorname{TODO|tKer} (A - \lambda I) =пропуск}\{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля, в случае нетривиального ядра.
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
