418
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отоб...»
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>A:X \rightarrow Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
* <tex>A(x_1+x_2)=A(x_1)+A(x_2)</tex>
* <tex>A(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot A(x_1)</tex>
}}
NB: Гоморфизм
{{Определение
|definition=л.о. A:X \rightarrow X называется автоморфизмом.
}}
NB: <tex>A(x) = Ax</tex>
{{Определение
|definition=<tex>A,B:X \rightarrow Y</tex>, <tex>A=B</tex>, если <tex>\forall x \in X:Ax = Bx</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>O</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x \in X:Ox=Oy</tex>
}}
== Примеры ==
=== Тождественный оператор ===
<tex>I:X \rightarrow X</tex> по формуле <tex>Ix=x</tex>
=== Линейный оператор проектирования ===
<tex>X=L1 + L2</tex>
<tex>P_{L_1}^{||L_2}:X \rightarrow L_1</tex>
<tex>P_{L_2}^{||L1}:X->L_2</tex>
NB: <tex>P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \rightarrow X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> - п.п. <tex>X</tex>)
=== Оператор дифференцирования ===
Пусть <tex>X=P_n; D:P_n \rightarrow P_{n-1}</tex>
по формуле <tex>(Dp)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
=== Интегральный оператор ===
Пусть <tex>X=C(a,b)</tex>
<tex>K(s,t)</tex>
<tex>s \in (a,b)</tex>
<tex>t \in (a,b)</tex>
<tex>(Bf)(s) = integral_a^b K(s,t) \cdot f(t) \ cdot dt</tex>
<tex>B:C(a,b) \rightarrow C(a,b)</tex>
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>A:X \rightarrow Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
* <tex>A(x_1+x_2)=A(x_1)+A(x_2)</tex>
* <tex>A(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot A(x_1)</tex>
}}
NB: Гоморфизм
{{Определение
|definition=л.о. A:X \rightarrow X называется автоморфизмом.
}}
NB: <tex>A(x) = Ax</tex>
{{Определение
|definition=<tex>A,B:X \rightarrow Y</tex>, <tex>A=B</tex>, если <tex>\forall x \in X:Ax = Bx</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>O</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x \in X:Ox=Oy</tex>
}}
== Примеры ==
=== Тождественный оператор ===
<tex>I:X \rightarrow X</tex> по формуле <tex>Ix=x</tex>
=== Линейный оператор проектирования ===
<tex>X=L1 + L2</tex>
<tex>P_{L_1}^{||L_2}:X \rightarrow L_1</tex>
<tex>P_{L_2}^{||L1}:X->L_2</tex>
NB: <tex>P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \rightarrow X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> - п.п. <tex>X</tex>)
=== Оператор дифференцирования ===
Пусть <tex>X=P_n; D:P_n \rightarrow P_{n-1}</tex>
по формуле <tex>(Dp)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
=== Интегральный оператор ===
Пусть <tex>X=C(a,b)</tex>
<tex>K(s,t)</tex>
<tex>s \in (a,b)</tex>
<tex>t \in (a,b)</tex>
<tex>(Bf)(s) = integral_a^b K(s,t) \cdot f(t) \ cdot dt</tex>
<tex>B:C(a,b) \rightarrow C(a,b)</tex>
