497
правок
Изменения
→Определения
|neat =
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}:X \to X</tex> - линейный оператор (ЛО)<br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> - [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\dim L = 1</tex>
}}
|neat =
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}:X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : Ax \mathcal{A}x = \lambda x</tex>
}}
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
|proof=
<math> (1) \Rightarrow (2) : x \in L, \dim L=1 \Rightarrow Ax \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow Ax\mathcal{A}x=\lambda x</math> (единственным образом) <br><tex> (1) \Leftarrow (2) : \exists \lambda: Ax \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, Ax \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>
}}
|definition=
'''Спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br>
<tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _A _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>
}}
