Изменения

<tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle </tex><tex>= \lambda\cdot\overline{\lambda}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\overline{\left\langle x;y\right\rangle })+\left\langle y,y\right\rangle </tex><tex>= \Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+\lambda\cdot 2Re\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0</tex> - многочлен второй степени, все коэффициенты вещественные <tex>D \le 0</tex> <tex> D/4=(-Re\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\le0\Longrightarrow |Re\left\langle x,y\right\rangle |\le\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</tex> - верно для <tex>\forall x,y\in E</tex>. Назовём это неравенство <tex>(\times)</tex> - крестик. Трюк: пусть <tex>\left\langle x,y\right\rangle = |\left\langle x,y\right\rangle|\cdot e^{i\varphi}</tex>, где <tex>\varphi=arg\left\langle x,y\right\rangle</tex>. Тогда пусть в <tex>(\times): y \longrightarrow y\cdot e^{i\varphi} \Longrightarrow \Vert e^{i\varphi}y\Vert=|e^{i\varphi}|\cdot\Vert y\Vert</tex> Заметим, что <tex>\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle =\overline{e^{i\varphi}}\left\langle x,y \right\rangle</tex>