418
правок
Изменения
Нет описания правки
Тогда <tex>\ker p(A)=\ker p_1(A) + \ker p_2(A)</tex>
|proof=
1) Пусть <tex>x=x_1+x_2</tex>, где <tex>x_1 \in \ker p_1(A)</tex>, <tex>x_2 \in \ker p_2(A) => \Rightarrow </tex>
<tex>p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = </tex>(коммутативность)<tex> =
p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 =>\Rightarrow </tex> <tex>x \in \ker p(A)</tex>
Итого: <tex>\ker p_1(A)+\ker p_2(A) inini \ker p(A)</tex>
}}
N.B: <tex>p(A)=O <=> \Leftrightarrow \forall x \in X:p(A)x = Ox <=> \Leftrightarrow p(A)x = \{Ox\} <=> \Leftrightarrow Im p(A) =\{Ox\} <=> \Leftrightarrow \ker p(A) =X</tex>
Лемма 1.
Аннулирующие полиномы есть в природе.
<tex>\{I,A,A^2,...\}</tex> - набор ЛЗ <tex>=>\Rightarrow </tex> <tex>\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^2 = O</tex>
Рассмотрим <tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda^s</tex> - аннулирующий полином.
I_A
Рассмотрим p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P => \Rightarrow p(\lambda)q(\lambda) \in (I_A) (?)
<tex>S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O</tex>, ч.т.д.
<tex>\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)</tex>
Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} => \Rightarrow \widehat{X_A}(A)x_j \ne O </tex>
<tex>X_A(A)=O</tex> - тождество Кэли
|statement = Для <tex>p(A)=q(A)</tex>, Н и Д, чтобы <tex>(p(\lambda)-q(\lambda))::p_A(\lambda)</tex>
|proof=
<tex>p(A)=q(A) <=> \Leftrightarrow p(A)-q(A) = O <=> \Leftrightarrow (p(A)-q(A))x=Ox </tex>(для <tex>\forall x \in X</tex>)
<tex>p(\lambda)-q(\lambda) = p_A(\lambda)\cdot \widehat{p}(A)=O</tex>
}}
<tex>p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}</tex>
<tex>p_2(A)X = Im p_2(A)</tex>
<tex>dim Im p_2(\mathcal{A}) = dim \ker p_1(\mathcal{A}) (?)</tex>
<tex>X=\ker p_A(\mathcal{A})=\ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus \ker p_2(\mathcal{A})</tex>
Пусть <tex>p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex> (взаимнопростые делители)
Пусть <tex>p_i^{'} = {p_a \over p_i}</tex>; <tex>q_i</tex> - также понятно, что <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\lambda)\cdot q_i(\lambda) = \mathcalmathit{1}</tex>
Тогда 1) <tex>X = \dotplus \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>; <tex>I = \displaystyle \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>, где <tex>x = \sum_{i=1}^k p_i^{'} (\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})x=\sum_{i=1}^k x_i</tex> так, что <tex>x_i = p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) \in \ker p_i(\mathcal{A})</tex> p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) - проектор на ядро \ker p_i(\mathcal{A}) линейная оболочка остальных ядер = л.о. \{\ker p_1(\mathcal{A}),...,\ker p_k(\mathcal{A})\}
|proof=
}}
