Изменения

<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ (3)</tex> (3) <br><tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ (4)</tex> (4) <br>

<br>аналогично <tex>(4)</tex>}} Далее {{---}} <tex>E</tex> над <tex>R</tex> <tex> g_{ik} = g_{ki} \Rightarrow \xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ ( \tilde{3})</tex> <tex> g^{ik} = g^{ki} \Rightarrow \xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ ( \tilde{4})</tex> {{Определение|definition=<tex>\{ \xi^1 \cdots \xi^n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОНТРвариантными'''. <br><tex>\{ \xi_1 \cdots \xi_n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e^i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОвариантными'''.}} {{Определение|definition=Операция ковариантных координат на контрвариантные в соответствии с <tex>(\tilde{3})</tex> называется операцией поднятия индекса координаты.}} {{Определение|definition=Операция контрвариантных координат на ковариантные в соответствии с <tex>(\tilde{4})</tex> называется операцией опускания индекса координаты.}} Рассмотрим <tex>g^{ik} \xi_e </tex> {{---}} свертка к <tex>\xi^{i}</tex> (валентность {{---}} <tex>(2,1)</tex>) Рассмотрим <tex>\omega^{ik}_l = \omega^{ik.}_{..l}</tex> Тогда: 1) <tex>\omega^{.k.}_{i.l} = g_is \omega^{sk.}_{..l}</tex> 2) <tex>\omega^{ikl}_{...} = g^{lt} \omega^{ik.}_{..t}</tex> NB: Если <tex>g_{ik} = g^{ik} = \delta^i_k</tex> и <tex>G = G^{-1} = E \Rightarrow</tex> 1)<tex> \langle x;y \rangle = \sum\limits_{i=1} ^n \xi^i \eta^i </tex> 2) <tex> \xi^i = \xi_i ; \ e^i = e_i</tex> {{Теорема|statement=пусть <tex> x = \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^ke_k </tex> <br><tex>\{e_i\}_{i=1}^{n }<tex> и <tex>\xi_k ({f_i\}_{i=1}^{n}</tex> - сопряженные базисы <br><tex>g_{ik}</tex> - [[метрический тензор]] <br>тогда <tex>Gx = \sum\limits_{i,k=1}^{n g} \xi^k g_{ki} e_if^i</tex>, где <tex>Gx,f^i \in E^{*}</tex> |proof=<tex>Gx = G(\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k e_k) = \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k Ge_k =^{(2)} \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k G(\sum\limits_{i=1}^{n ( }g_{ki}e^{i}) = \sum\limits_{k=1}^{n } \xi_k gxi^k(\sum\limits_{i=1}^{n} g_{ki}Ge^i) e_i= \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_ki f^i</tex>