418
правок
Изменения
→Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\Phi(x,x)</tex>,<tex>\Psi(x,x)</tex> - квадратичные формы в <tex>\mathcal{C}</tex>
Пусть <tex>\Psi(x,x)</tex> - положительно определена.
Тогда <tex>\exists</tex> ортонормированный базис пространства <tex>E</tex>, в котором обе формы имеют канонический вид.
|proof=
1) Рассмотрим в <tex>\Psi(x,x) <-></tex> эрмитовы <tex>\Psi(x,y)</tex> - это м.б. <tex>< ; >_{Y}</tex> в <tex>E</tex>
Стало <tex><x,y>_{\Psi} = \Psi(x,y)</tex>
Пусть <tex>{e_i}_{i=1}^n</tex> - ортонормированный базис <tex>\Phi, \Psi</tex>
<tex><\mathcal{U}x,\mathcal{U}y>=<x,y></tex> <tex><e_i^',e_j^'>=<\widehat{e}_i,\widehat{e}_j>=\delta_{ij}</tex> <tex>\widehat{\Psi)(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 \cdot |\widehat{\xi_i}}^2</tex> <tex>\widehat{\Phi)(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot |\widehat{\xi_i}}^2</tex> Рассмотрим <tex>\det (\Phi-\lambda \cdot \Psi) = 0 -> ... -> \{\lambda_1,...,\lambda_n\}</tex> <tex>\det (\Phi^'-\lambda \cdot E) = 0</tex> <tex>\det (\Phi - \lambda \cdot \Psi) = det (T \cdot (\Phi^'-\lambda \cdot E) \cdot \overline{T^T})=0</tex>
<tex>\det T \ne 0</tex>, <tex>\det \overline{T^T} \ne 0</tex>
}}
