403
правки
Изменения
→Время работы
|id = Лемма4
|statement =
<tex>\sum |Inverse|</tex> по всем итерациям цикла <tex>while</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| \cdot |Q| \cdot \log_2(|Q|)</tex>.
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>Inverse</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>(C, a)</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
}}
{{Теорема
|statement =
Время работы алгоритма Хопкрофта равно <tex>O(|\Sigma| |Q| \log(|Q|)</tex>.
|proof =
Оценим, сколько времени занимает каждая часть алгоритма:
*Построение массива <tex>Inv</tex> занимает <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex> времени.
*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>while</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|Inverse|))</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|Inverse|)</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>Replace</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
Итого, получается, что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает <tex> O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
}}
