1632
правки
Изменения
м
'''Диаметр дерева''' - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.Алгоритм в этой статье находит диаметр в дереве,причём очень простым алгоритмом.__TOC__
d = max{Пусть дан граф <tex> v G = \langle V, E \rangle </tex>,. Тогда диаметром <tex> u d</tex> называется <tex> \subset graphmax\limits_{u, </tex> <tex> v \ne in V} dist(v, u )</tex>} dist(, где <tex> v, u dist</tex>)— кратчайшее расстояние между вершинами.
== Реализация ==* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
int diameterTree(graph g) { v = u = w = 0;Обоснование корректности === bfs(gБудем пользоваться свойством,v); // заполняет массив d[n] кратчайшими расстояниями до всех вершинчто в любом дереве больше одного листа. for(i = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[u]) u = i; bfs(gИсключительный случай — дерево из одной вершины,u); for(i = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[w]) w = i; return d[w]; }но алгоритм сработает верно и в этом случае.
== Обоснование корректности ==Будем пользоваться свойством,что в любом дереве После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>= 2 листов(имеют степень один).
Искомое расстояние - есть расстояние В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между двумя листамивершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.
Пусть нетПредположим, пусть искомое расстояние - есть расстояние существует ребро <tex>u, v</tex> между вершина aсоседними поддеревьями:Рассмотрим первую вершину, bв которую приведет наш алгоритм, где b - не является листом. Т.к. b не является листомпусть это вершина <tex>u</tex>, то значит её степень тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u</tex>мы добавим в список вершину <tex>v</tex> 1 => из неё существует ребро , тем самым исключив возможность попадания их в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказанаразные поддеревья.
Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. ==== Алгоритм для дерева за O(n) ====
В дереве BFS не существует ребер между вершинами Каждое дерево имеет центр, состоящий из разных поддеревьев некоторого одной вершины или из общего предкадвух смежных вершин.
Точно такое-Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же как центральные вершины, что и у дерева dfs<tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>Собственно, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальнаалгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.
Докажем* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.* Обрежем помеченные вершины. Пусть нет, тогда взяв расстояние от * Образовавшиеся листья пометим числом <tex>w1</tex> до глубочайшего листа мы можем улучшить ответи тоже обрежем.* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев. Оставшиеся листья являются центром дерева.
Таким образом мы доказалиДля того, что нам нужно взять вершину <tex>uчтобы алгоритм работал за </tex> с наибольшей глубиной после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex> , что distO(u, wn) - <tex>max</tex> . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из <tex>u</tex>нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.
Все операции кроме bfs - О(1).[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E).[[Категория: Основные определения теории графов]]
rollbackEdits.php mass rollback
== Алгоритм Диаметр дерева ==Возьмём любую вершину <tex> v </tex> и найдём расстояния до всех других вершин{{Определение|id = tree|definition ='''Диаметр дерева''' (англ.''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.}}
=== Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> u v \in V </tex> такую,что и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[ui] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние от <tex>udist(v, i)</tex> до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.
=== Реализация ===
<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span>
'''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g):
v = u = w = 0
d = bfs(g, v)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[u]
u = i
d = bfs(g, u)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[w]
w = i
'''return''' d[w]
{{Теорема
|statement=
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
|proof=
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).
}}
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.
Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.
=== Оценка времени работы ===
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
== Центр дерева ==
=== Определения ===
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
=== Алгоритм ===
==== Наивный алгоритм ====
Найдём центр графа исходя из его определения.
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
== См. также ==
*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]
*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]
== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Харари''Оценка производительности:Теория графов* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]
