308
правок
Изменения
→Раскраска в 5 цветов
Обозначим за <tex> u </tex> - возвращаемую вершину, <tex> v^{(k)} </tex> - вершина, покрашенная в <tex> k </tex> цвет.
Если среди вершин, смежных <tex> u </tex>, есть две вершины одного цвета, значит остаётся по меньшей мере один свободный цвет, в который мы и покрасим <tex> u </tex>.
Иначе, уложим полученный после удаления <tex> u </tex> граф на плоскость и пронумеруем цвета в порядке обхода смежных вершин по часовой стрелке.
Попробуем покрасить <tex> u </tex> в цвет 1. Чтобы раскраска осталась правильной, перекрасим смежную ей вершину <tex>v_1^{(1)}</tex> в цвет 3. Если среди смежных ей вершин есть вершины <tex> v_2^{(3)} </tex>, покрасим их в цвет 1, и так далее. Рассмотрим две необычные ситуации, которые могут наступить во время обхода:
#мы дойдём до уже однажды перекрашенной вершины (и хотим перекрасить её обратно). Видно что такая ситуация невозможна, поскольку мы меняли цвета вершин по схеме 1 <tex>\leftrightarrow</tex> 3, и если по завершении обхода мы получили две смежные вершины одного цвета, значит и до перекрасок в графе были две вершины одинакового цвета, а по предположению граф без <tex> u </tex> был раскрашен правильно.
#дойдём до вершины, смежной <tex> u </tex>, исходно имевшей цвет 3, которую перекрасить в 1 нельзя (<tex> u </tex> теперь имеет цвет 1).
