Изменения

Пусть <tex> e </tex> является мостом. Тогда <tex> \rho _1 (E \backslash {e}) = \rho (E) - 1 </tex>, так как стягивание <tex> e </tex> не меняет число компонент связности и уменьшает число вершин на одну. Тогда <tex> f(G) = x_0f(G/e) = x_0 a^{\rho _1 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _1 (E \backslash {e})} T_{G/e}(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = </tex> <tex> x_0 a^{\rho (E) - 1} b^{|E| - \rho (E)} T_{G/e}(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = \frac {x_0}{a} a^{\rho (E)} b^{|E| - \rho (E)} T_{G/e}(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)}T_G(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) </tex>. Что и требовалось. <br>

Пусть <tex> e </tex> является петлёй. Тогда <tex> \rho _2 (E \backslash {e}) = \rho (E) </tex>, так как удаление <tex> e </tex> не меняет ни числа вершин, ни числа компонент связности. Тогда <tex> f(G) = y_0f(G \backslash e) = y_0 a^{\rho _2 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _2 (E \backslash {e})} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = y_0 a^{\rho _2 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _2 (E \backslash {e})} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = \frac {y_0}{b} a^{\rho (E)} b^{|E| - \rho (E)} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)}T_G(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) </tex>. Что и требовалось. <br>

Пусть <tex> e </tex> не является ни мостом, ни петлёй. Тогда <tex> \rho _1 (E \backslash {e}) = \rho (E) - 1 </tex> и <tex> \rho _2 (E \backslash {e}) = \rho (E) </tex>. Тогда <tex> f(G) = a f(G/e) + b f(G \backslash e) = a*a^{\rho _1 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _1 (E \backslash {e})} T_ {G / e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) + b*a^{\rho _2 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _2 (E \backslash {e})} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = </tex> <tex> a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)} (T_ {G / e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) + T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b})) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)}T_G(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) </tex>. Что <br>Таким образом, все случаи разобраны, и требовалосьтеорема доказана.