Изменения

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - — соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > < b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (англ. ''ascent'') данной перестановки.

Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\ldots \pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером <tex>n </tex> в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\ldots \theta_p, n, \theta_q...\ldots \theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:

1. # Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <texdpi=190>\langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><texdpi=190> \langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> раз). 2. # Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><texdpi=190>\langle{n- 1\atop m- 1}\rangle</tex>.

:<texdpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = (m + 1)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle </tex> <tex> + (n - m)</tex> <tex dpi=180>\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex>

:<texdpi=190>\left\langle{n0\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = [m = 0]</tex>,Запись [выражение] означает [<ref>http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию нотация Айверсона]</ref>. 

Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно <tex>2 </tex> подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд)::<texdpi=190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 11:

Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '<tex>4' </tex> в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:

:<texdpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 1:[123] => \Rightarrow (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3

Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок подъемов на <tex>1</tex>:

:<texdpi=190> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 4:</tex>

:<tex>[13]2 => \Rightarrow [13(4)]2, [13][2(4)];</tex>

:<tex>2[13] => \Rightarrow [2(4)][13], 2[13(4)];</tex>

:<tex>[23]1 => \Rightarrow [23(4)]1, [23][1(4)];</tex>

:<tex>3[12] => \Rightarrow [3(4)][12], 3[12(4)];</tex>

:<texdpi=190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = (2 + 1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> + (4 - 2)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 11;</tex>

Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях ===Явные формулы===:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex>:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex> ===Связь чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределениюс сечениями гиперкубов==={{Теорема|statement=Число <tex>\dfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ровным счетом как ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и биномиальные коэффициенты <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>.|proof=Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: {{Теорема|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами|statement= Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> — вектор с ненулевыми компонентами (оба графика<tex>w = {w_1, представленные '''справа'''w_2 \ldots w_n}</tex>), смасштабированы; масштаб указан на гистограмме)а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство: <tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \dfrac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [[Файл:Euler_I_hist.gifn]} (-1)^{|300pxK|thumb|Числа Эйлера I рода }(m z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> *< 90tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x)\leqslant z \}</tex> — полупространство;*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;*<tex>[n]:= \{1,2\ldots n\}</tex>;[[Файл*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> — подмножество <tex>\{1,2\ldots n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны <tex>1</tex>, а остальные {{---}} нули; *Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ :Binomial_hist.gif|300px|thumb|Биномиальные коээфициенты = (m \max{\{r, 0\}})^n< 60)]]/tex>.

|proof===Явная формула===С доказательством можно ознакомиться по ссылке <ref>http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf</ref>.Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.}}

Следует заметить[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]][[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, что первый элемент каждой как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+\ldots +x_n = m| m+1</tex>) {{-той строки равен --}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1, а второй }^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{--- }} единичный вектор <tex>2^1_{m[n]} </tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{-- (m + 1-}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex>. Третий выражается равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как:выражение <tex>3(-1)^{m|K|}(z-(m + 1w \cdot 1_K)2^m n_+ </tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \frac{(cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>)m}. Отсюда имеем <tex>{2n \choose j};</tex>таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.

и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в формеТогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей::<tex>\left\langlemathrm{m\atop 1Vol}\right\rangle = {_{m + 1n} \choose {0}}1(G^n_{m}</tex>:<tex>\left\langle1_{m\atop 2[n]}\right\rangle = {{,m + 1} \choose {0}}2cap I^{m} + {{m + 1n} ) = \choose dfrac{1}}1^{mn!}</tex>:<tex>\leftsum\langlelimits_{m\atop 3}\right\rangle j = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {(-1}}2)^{mj} + {{m + 1} n \choose {2j}}1(m-j)^{m}n</tex>

Тогда нетрудно проверитьПоложим <tex>W_n^m</tex> — фигура, что эта сумма продолжается именно таким образом иобразованная сечением гиперкуба <tex>[0, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как::1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\leftsum\langlelimits_{i=1}^{m\atop n}\right\rangle x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{ji=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. :<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} (-1)^: m \leqslant x \cdot 1_{[n-j+1]} {\leqslant m+1\choose n-j+1}j\cap I^{mn}</tex>

:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1. Нетрудно увидеть}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]}, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:m}^{n} \cap I^n)</tex>:<tex>= \dfrac{1}{n!}[\leftsum\langlelimits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n\atop choose j}(m+1-j)^{n}- \rightsum\rangle limits_{j= 0}^{m}(-1)^{j}{n \leftchoose j}(m-j)^{n}]</tex>:<tex> = \langledfrac{1}{n!}\sum\atop limits_{j=0}^{m+1}(n-1) ^j{n+1 \choose j}(m+1- kj)^n</tex> :<tex> = \dfrac{1}{n!}\rightsum\rangle,limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \ choose j}(m+1-j)^n </tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль):<tex> = </tex> <tex>\ge dfrac{1,}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\ 0 langle{n\le k atop m}\le n-1. right\, rangle</tex>(вторая явная формула)

2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>::<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex>

3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний::<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex>=Свойства===

4# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:#:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle</tex><tex>,\ n \geqslant 1,\ 0 \leqslant k \leqslant n-1. Число \, </tex># Сумма всех значений каждого ряда равна <tex>n! </tex>:#:<tex>\sum\fraclimits_{1m=0}^{n!}</tex><tex dpi=190> \left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает<tex> = n!,\ n \geqslant 0, \,</tex># Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний: #:4.1 Объем части <tex>\sum\limits_{m=0}^n(-1)^m </tex>-мерного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <texdpi=190>x_1+x_2+{\left\langle{n\atop m}\right\dots+x_n=krangle}</tex> и <tex>x_1+x_2+{n-1\dots+x_n=kchoose m}^{-1}=0.</tex>;:4.2 # Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>km-1</tex> и <tex>km</tex> равна <tex>\dfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.

'''''Числа Эйлера II рода''''' (англ. ''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <texdpi = "190"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex>

Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует <tex>15 </tex> перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, <tex>8 </tex> штук имеют всего <tex>1 </tex> подъем, и <tex>6 </tex> перестановок имеют <tex>2 </tex> подъема:

|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем

|neat proof = Докажем лемму методом математической индукции. *'''База'''. Для <tex>n=1</tex> очевидно, что существует только одна такая перестановка.*'''Переход'''. Рассмотрим какую-нибудь перестановку длины <tex>2n</tex>. Таких перестановок <tex>(2n-1)!!</tex>. Теперь докажем, что перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2(n+1)-1)!!</tex>. Попробуем вставить два числа <tex>n + 1</tex>. Очевидно, что их нельзя вставить не на соседние места, так как в таком случае между ними точно будут меньшие элементы. Но их можно вставить в любые два соседних места, так как они больше всех чисел в перестановке, а значит они не нарушат свойства для других элементов. Таким образом два новых элемента можно вставить в <tex>2n+1</tex> место. В итоге перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2n-1)!!\cdot (2n+1)=(2n+1)!!=(2(n+1)-1)!!</tex>.

:<texdpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> = (2n-m-1) </tex> <tex dpi=180>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> + (m+1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex>

:<texdpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> = [m=0]. </tex>

Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le leqslant n \le leqslant m \le leqslant 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.

==СсылкиСм. также ==* [[Комбинаторные_объекты#.D0.9F.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B8|Перестановки]]* [[Числа_Стирлинга_первого_рода|Числа Стирлинга первого рода]]* [[Числа_Стирлинга_второго_рода|Числа Стирлинга второго рода]]* [[Числа_Каталана|Числа Каталана]] ==Примечания==<references/> ==Источники информации==