63
правки
Изменения
→Теорема о ((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p) при p=4\cdot k+1
}}
==Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>==
Рассмотрим сравнение <tex>\left(\cfrac{a}{p}\right)=a^{\frac{p-1}{2}}(mod ~p)</tex>. Если <tex>a=1</tex>, то сравнение примет вид <tex>\left(\cfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}(mod~p)</tex>. То есть <tex>a=-1</tex> будет квадратичным вычетом, если <tex>(-1)^{\frac{p-1}{2}}=1</tex>. Любое нечетное целое число имеет вид <tex>4\cdot k+1</tex>, или <tex>4\cdot k+3</tex>. Рассмотрим <tex>p=4\cdot k+1</tex>, тогда <tex>(-1)^{2\cdot k}=1</tex>, это равенство выполняется при любом <tex>k</tex>. Теперь рассмотрим <tex>p=4 \cdot k+3</tex>, получим <tex>(-1)^{2\cdot k+1}=1</tex>, это равенство не выполняется при любом <tex>k</tex>. Следовательно, <tex>a=-1</tex> будет квадратичным вычетом по модулю всех простых чисел, задаваемых формулой <tex>p=4 \cdot k+1</tex>.
{{Теорема
|id=th2
|statement=
<tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>
|proof=
Так как <tex>(p-1)!=-1(mod ~p)</tex>, то подставив в это сравнение <tex>p=4\cdot k+1</tex>, получим <tex>(4 \cdot k)!=-1(mod~p)</tex>. Рассмотрим <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2</tex>, подставим <tex>p = 4 \cdot k+1</tex>, получим <tex>((2 \cdot k)!)^2</tex>. Рассмотрим сравнение <tex>(4 \cdot k)!=-1(mod~p)</tex>:
<br>
<tex>1\cdot 2\cdot \dots \cdot (2\cdot k)\cdot (2 \cdot k+1)\cdot \dots \cdot (4 \cdot k)\equiv -1 (mod~p)</tex>
<br>
<tex>1\cdot 2\cdot \dots \cdot (2\cdot k)\cdot (-2 \cdot k)\cdot \dots \cdot (-1)\equiv -1 (mod~p)</tex>
<br>
Так как число отрицательных членов четно, все минусы сократатся, получим:
<br>
<tex>1\cdot 2\cdot \dots \cdot (2\cdot k)\cdot (2 \cdot k)\cdot \dots \cdot (1)\equiv -1 (mod~p)</tex>
<br>
<tex>(2\cdot k)!\cdot(2\cdot k)!\equiv -1 (mod ~p)</tex>
<br>
<tex>((2\cdot k)!)^2\equiv -1 (mod~p)</tex>
<br>
А так как <tex>((2\cdot k)!)^2=((\frac{p-1}{2})!)^2(mod~p)</tex>, то <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2=-1(mod~p)</tex>, при <tex>p=4\cdot k+1</tex>.
}}
