Изменения

|definition ='''Скобочная последовательность''' (англ. ''Bracket Sequences'') {{---}} класс комбинаторных объектов, представляющих собой последовательность скобочных символов.}}

*$<tex>(())))($</tex>*$<tex>)()()))()(()())$</tex>

|definition ='''Правильная скобочная последовательность''' (анлг. ''Correct Bracket Sequences'') {{---}} частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:

*"" <tex>\varepsilon</tex> (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;*пусть $<tex>S$ </tex> {{---}} правильная скобочная последовательность, тогда $<tex>(S)$ </tex> есть правильная скобочная последовательность;*пусть $<tex>S1$</tex>, $<tex>S2$ </tex> {{---}} правильные скобочные последовательности, тогда $<tex>S1S2$ </tex> есть правильная скобочная последовательность;

'''Примеры правильных скобочный скобочных последовательностей'''*$<tex>((()()()()))$</tex>*$<tex>(())(()())$</wikitextex> 

<wikitex>Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку $<tex>s$</tex>. Возьмем переменную $<tex>\mathtt{counter$}</tex>, $<tex>\mathtt{counter } = 0$</tex>, в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем $<tex>\mathtt{counter$ }</tex> на $<tex>1$</tex>, закрывающую {{---}} уменьшаем на $<tex>1$</tex>. Если на протяжении всего перебора $<tex>\mathtt{counter$ }</tex> было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем(все открывающие скобки закрыты, при этом нет лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.</wikitex>

<wikitex> '''boolean''' check(s: '''string'''):

'''for ''' i = 1 '''to ''' length(s) '''if ''' s[i] == '('

'''else'''

'''if ''' counter < 0 '''return ''' ''false '' if '''return''' counter == 0 return true else return false

*<tex>()[()]\{()()[]\}</tex> {{---}} верно*<tex>[(]\{\})</tex> {{---}} неверно В этом случае для проверки надо будет использовать [[Стек | стек]].</wikitex>== Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей ==<wikitex>Для того, чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей, надо установить порядок на алфавите, например так '$<tex>($' \ < '$\ )$'</tex>.Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например "$<tex>($" \ < "$\ [$" \ < "$\ )$" \ < "$\ ]$".</wikitextex>. ===Примеры лексикографического порядка для $<tex>n$ </tex> и $<tex>k$</tex>, где $<tex>n$ </tex> {{---}} число открывающихся скобок, а $<tex>k$ </tex> {{---}} число видов скобок===<wikitex>{| borderclass="wikitable" !colspan="12" cellpaddingstyle="padding:7px"| <tex>n = 3"</tex> |$n !colspan= "3$" style="padding:7px"||$<tex>k = 1$</tex>

!style="padding:7px"|$<tex>((()))$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>(()())$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>(())()$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>()(())$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>()()()$</tex>

{| borderclass="1wikitable" cellpadding="3" !colspan="2" style="padding:7px"|$<tex>n = 2$|</tex> !colspan="2" style="padding:7px"|$<tex>k = 2$</tex>

!style="padding:7px"|$<tex>()[]$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>([])$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>[()]$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>[]()$</tex>

Алгоритм генерации лексикографического порядка будет предложен ниже.</wikitex>== Количество правильных скобочных последовательностей. Числа Каталана ==<wikitex>Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами Каталана.{{Определение|id = def1|definition =Числа Каталана {{---}} последовательность чисел, выражающих:*количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и $n + 1$ листьями;*количество способов соединения $2n$ точек на окружности $n$ не пересекающимися хордами;*количество разбиений выпуклого $(n + 2)$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями;*количество способов полностью разделить скобками $n + 1$ множитель;*количество корректных скобочных последовательностей, состоящих из $n$ открывающих и $n$ закрывающих скобок;}}</wikitex>===Рекурентная формула===<wikitex>$C_n Алгоритмы генерации = \sum_{i = 0}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}$

Рекуррентную формулу легко ===Рекурсивный алгоритм получения лексикографического порядка===Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести из задачи о правильных скобочных последовательностях.все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:

Самой левой открывающей скобке $l$ соответствует определённая закрывающая скобка $r$Для запуска алгоритма необходимо сделать вызов <tex>\mathrm{gen}(n</tex>, <tex>0</tex>, которая разбивает формулу на две части<tex>0</tex>, каждая из которых в свою очередь является правильной скобочной последовательностью<tex>"")</tex>. Поэтому, если мы обозначим $i = r *<tex> \mathtt{ans}</tex> {{- l - 1$, то для любого фиксированного $r$ будет ровно $C_i C_{n-1-i}$ способов. Суммируя это по всем допустимым i} строка, в которой мы и получаем рекуррентную зависимость на $C_n$.считаем ответ*<tex> \mathtt{counter\_open}</tex> - количество открывающих скобок в данный момент*<tex> \mathtt{counter\_close}</wikitextex>- количество закрывающих скобок в данный момент '''function''' gen(n: '''int''', counter_open: '''int''', counter_close: '''int''', ans: '''string'''): '''if''' counter_open + counter_close ===Аналитическая формула===2 * n print(ans) '''return''' '''if''' counter_open <wikitexn gen(n, counter_open + 1, counter_close, ans + '(') '''if''' counter_open >counter_close$ C_n = \frac{1}{ gen(n, counter_open, counter_close +1} C_{2n}^{n} $, ans + ')')

(здесь через $C_n^k$ обозначенЕсли есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её. Аналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, то после этого мы ставим и её.<br>Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как обычносначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку. При этом мы перебираем все возможные варианты последующих скобок для каждого возможного префикса <tex>\mathtt{ans}</tex>, биномиальный коэффициент).а следовательно в результате получаем все возможножные правильные скобочные последовательности

$ C_n = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1} = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n}$</wikitex>== Алгоритмы генерации ==<wikitex>===Генерация следующей скобочной последовательности===<wikitex>Пусть нам известна строка $<tex>s$</tex>, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то {{---}} вывести "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить(на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности, то есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:

'''string''' next(s: '''string'''):

'''for ''' i = length(s) '''downto ''' 1 '''if ''' s[i] == '('

'''if ''' counter_close > counter_open '''break''' '''else '''

delete<font color="Green">// начиная с символа с индексом "length(s, ) - counter_open - counter_close" удаляем все символы (индексация с 0)</font> remove(s[length(s) - counter_open - counter_close + ], s[length(s) - 1, counter_close + l]) '''if ''' s == "" '''return ''' "No Solution" '''else'''

'''for ''' j = 1 '''to ''' counter_open

'''for ''' j = 1 '''to ''' counter_close - 1

'''return ''' s;

Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:  '''function''' order(n: '''int'''):

if n == 0 result(s) else '''for ''' j = 1 '''to ''' n s = s + '(' '''for ''' j = 1 '''to ''' n s = s + ')' result print(s) t = '''while''' next(s) while t != false"No Solution" result print(s) t = next(s)) '''return''' Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших <tex>n</tex>.

Научимся считать вспомогательную динамику $d[i][j]$, где $i$ Пусть <tex>n</tex> — длина количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности (она "полуправильная": всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), $j$ — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), $d[i][j]$ — количество таких найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что скобки бывают только одного типа.

Считать эту Научимся считать вспомогательную [[Динамическое программирование | динамику можно следующим образом. Пусть $]] <tex>d[i][j]$ — величина</tex>, которую мы хотим посчитать. Если $где <tex>i = 0$, то ответ понятен сразу</tex> — длина скобочной последовательности (она "полуправильная": $d[0][0] = 1$всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все остальные $открытые скобки закрыты), <tex>j</tex> — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), <tex>d[0i][j] = 0$</tex> — количество таких последовательностей. Пусть теперь $i > 0$, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ При подсчёте этой последовательности. Если он был равен '(', то до этого символа динамики мы находились в состоянии $(i-1,j-1)$. Если он был равен ')', то предыдущим было состояние $(i-1считаем,j+1)$что скобки бывают только одного типа. Таким образом, получаем формулу:

$Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть <tex>d[i][j]</tex> — величина, которую мы хотим посчитать. Если <tex>i = 0</tex>, то ответ понятен сразу: <tex>d[0][0] = 1</tex>, все остальные <tex>d[0][j] = 0</tex>. Пусть теперь <tex>i > 0</tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex>'('</tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex>(i-1][,j-1] + d[)</tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(i-1][,j+1]$)</tex>. Таким образом, получаем формулу:

<tex>d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1]</tex> (считается, что все значения $<tex>d[i][j]$ </tex> при отрицательном $<tex>j$ </tex> равны нулю). Таким образом, эту динамику мы можем посчитать за $<tex>O(n^2)$</tex>.

getNumber'''int''' get_number(s: '''string'''):

'''for ''' i = 0 '''to ''' 2 * n - 1 '''if ''' s[i] == '('

'''else'''

'''return ''' num

Пусть теперь разрешены скобки $<tex>k$ </tex> типов. Тогда при рассмотрении текущего символа $<tex>s[i]$ </tex> до пересчёта $<tex>\rm depth$ </tex> мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа в установленном ранее порядке, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс $<tex>\rm ndepth = \rm depth \pm 1$</tex>), и прибавлять к ответу количество соответствующих "хвостов" {{- --}} завершений (которые имеют длину $<tex>2n - i - 1$</tex>, баланс $<tex>\rm ndepth$ </tex> и $<tex>k$ </tex> типов скобок). Утверждается, что формула для этого количества имеет вид:

$<tex>d[2n - i - 1][ndepth] \cdot k^{(2n - i - 1 - ndepth) / 2}$</tex>

Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из $<tex>d[2n - i - 1][{\rm ndepth}]$</tex> (аналогично случаю с одним типом скобок, где мы увеличивали <tex>depth</tex> на <tex>1</tex>, если скобка открывающая, и уменьшали на <tex>1</tex>, если закрывающая, <tex>ndepth = depth + 1</tex>, если мы пробуем поставить открывающую скобку, и <tex>ndepth = depth - 1</tex>, если закрывающую). Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия $<tex>k$ </tex> типов скобок. У нас имеется $<tex>2n - i - 1$ </tex> неопределённых позиций, из которых $<tex>\rm ndepth$ </tex> являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет $<tex>(2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2$ </tex> пар) могут быть любого из $<tex>k$ </tex> типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа $<tex>k</tex>. Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k$)</tex>.

Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. В данной задаче по заданному <tex>k</tex> требуется найти <tex>k</tex>-ую правильную скобочную последовательность в списке лексикографически упорядоченных последовательностей. Как и в предыдущем разделе, посчитаем динамику $<tex>d[i][j]$ </tex> — количество правильных скобочных последовательностей длины $<tex>i$ </tex> с балансом $<tex>j$</tex>.

getSequence'''string''' get_sequence(n: '''int''', k: '''int'''):

'''for ''' i = 0 '''to ''' 2 * n - 1 '''if ''' d[2 * n - (i + 1)][depth + 1] <tex>\geqslant</tex>= k

'''else'''

'''return ''' s Пусть теперь разрешён не один, а <tex>k</tex> типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение <tex>d[2n - i - 1][\rm ndepth]</tex> на величину <tex>k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}</tex>, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только <tex>2n - i - 1 - \rm ndepth</tex>, поскольку <tex>\rm ndepth</tex> скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем). Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>.

Пусть теперь разрешён не один, а $k$ типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение $d==Количество правильных скобочных последовательностей==Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с [i + 1[Числа Каталана | числами Каталана][\rm ndepth]$ на величину $k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}$, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только $2n - i - 1 - \rm ndepth$, поскольку $\rm ndepth$ скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем).

Сложность данного алгоритма $O(n^2 + n \cdot k)$== См. также ==</wikitex>*[[Числа Каталана]]*[[Комбинаторные объекты]]*[[Лексикографический порядок]]*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]*[[Получение номера по объекту]]*[[Получение объекта по номеру]]*[[Получение следующего объекта]]