Изменения

|definition =<tex>oodd(\mathbb{G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>\mathbb{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' (odd component) {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин.

|definition ='''Множество Татта''' графа <tex>\mathbb{G}</tex> {{---}} множество <tex>S \subset \mathbb{V_{G}}</tex>, для которого выполнено условие: <tex>oodd(\mathbb{G} \setminus S) > \left\vert S \right\vert</tex>

Пусть <tex>\mathbb{G'}</tex> {{---}} граф, полученный из <tex>\mathbb{G}=<\mathbb{V},\mathbb{E}></tex> добавлением ребер, при этом в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет [[Теорема Холла#def1|полного паросочетания]], но оно появляется при добавлении любого нового ребра.

|statement=В графе <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset \mathbb{V}</tex> выполнено условие: <tex>oodd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> \mathbb{G} \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>oodd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>oodd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.

Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset \mathbb{V}</tex> выполнено <tex>oodd(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant oodd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.

Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>oodd(\mathbb{G'} \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания.

Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>\mathbb{G'}</tex> четно, так как <tex>oodd(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.