Изменения
added proofs
{{Определение
|definition = '''Комбинаторные объекты''' (англ. ''(combinatorial objects)'' ) — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.}}
{{Определение
|definition = Если два комбинаторных объекта, различающихся только порядком элементов, считаются различными, то они называются '''Упорядоченным множествомупорядоченными''' называется множество, на элементах которого установлено отношение, обладающее следующими свойствами:1(англ. Для любых двух элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> данного множества существует только одно из следующих соотношений: <tex>a < b, ~a > b, ~a = b</tex>2''ordered''). Для любых трех элементов данного множества <tex>a, b, c</tex>: <tex>~(a < b</tex> & <tex>b < c) => a < c</tex>
}}
== Примеры комбинаторных объектов ==
# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;
# <math>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</math>.
}}
{{main|Числа Стирлинга второго рода}}
== Подсчет числа Число комбинаторных объектов с помощью рекуррентных формул ==Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с {| class="wikitable" border = 1|'''Тип объекта'''||'''Число объектов'n'' предметами выражается через решение аналогичной задачи |-|Битовые вектора||<tex>2^{n}</tex>|-|Перестановки||<tex>P_n = n!</tex>|-|Перестановки с повторениями||<tex dpi = "150">\frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>|-|Размещения||<tex dpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>|-|Размещения с меньшим числом предметов повторениями||<tex>n^k</tex>|-|Сочетания||<tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>|-|Сочетания с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов повторениями||<tex dpi = "150">\widetilde{C}^k_n = \frac{(одного, двухn + k - 1) решение задачи легко находится.!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex>|-|Разбиение на неупорядоченные слагаемые||[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | Нахождение количества разбиений числа на слагаемые]]|-|Разбиение на подмножества||[[Числа Стирлинга второго рода | Числа Стирлинга второго порядка]]|}
{{Теорема | id=2|statement=Число различных перестановок из <tex>A(0, t) = 0n</tex>, где элементов равно <tex>t > 0P_n = n!</tex>,
|proof=Перестановка {{---}} это частный случай [[#4 | размещения]] <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex>A(1, 1) при <tex>k = 1n</tex>. Таким образом,количество различных перестановок будет равно <tex>n!</tex>}}
{{Теорема | id=3|statement=Число различных перестановок с повторениями из <tex>Ak</tex> элементов с <tex>n</tex> группами одинаковых элементов равно <tex>\overline{P_k} (nk_1, k_2, \ldots, tk_n) = A\frac{(nk_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>, t где <tex>k_i</tex> {{-- 1) + A(n - t, t)}} это количество одинаковых элементов в <tex>i</tex>{{---}}ой группе.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика ]]
[[Категория: Комбинаторные объекты ]]