299
правок
Изменения
→Числа Рамсея больших размерностей
==Числа Рамсея больших размерностей==
{{Определение 10.3|id=def5. |definition=Пусть то<tex>m, кk, nin_1,..., пк £ n_k \in \mathbb N </tex>, причём щ<tex>n_1,..., пк n_k \ge m</tex> то,. Число Рамсея rm<tex>r_m(k; riin_1,..., пкn_k) </tex> — зто наименьшее из Есех всех таких чисел х £ <tex>x \in \mathbb N</tex>, чте что при л к бой любой раскраске то<tex>m</tex>-элементных подмножеств ж<tex>x</tex>-элементнего множестьа М элементного множества <tex>M</tex> в к пестов <tex>k</tex> цветов для нскстсрсго г £ некоторого <tex>i \in [1..кk] </tex> обязательно найдётся таксе множестьо чте такое множество <tex>W_i</tex>, что <tex>|ИД — щ в ьсе W_i|=n_i</tex> и все <tex>m</tex>-злементные подмножестьа множестьа Wi элементные подмножества множества <tex>W_i</tex> имеют нвет гцвет <tex>i</tex>.}}{{Определение|id=def6|definition=Число то <tex>m</tex> называется размерностью числа Рамсея rm<tex>r_m(fck;nin_1,... ,пкn_k)</tex>.Замечание 10.3, }}{{Утверждение|id=u2 |statement=1) Нетрудно пенять понять что числа Рамсея размеры сети размерности 2 — эте это определённые выше числа Рамсея для клик 2) При количестве цветов, равном 2, зтот этот параметр мы будем спускать опускать и писать rm<tex>r_m(nin_1,n2n_2) вместе rm</tex> вместо <tex>r_m(2;nin_1,n2n_2)</tex>.}}{{Определение 1С.4. |id=def7|definition=Для каждою множества М <tex>M</tex> через Мк <tex>M^k</tex> мы будем обозначать множество всех fc<tex>k</tex>-элементных подмножеств М<tex>M</tex>.}}{{Теорема|id=th5.|statement=Пусть <tex>m,k,n_1,...,n_k</tex> - натуральные числа, причем <tex>k \ge 2</tex>, а <tex>n_1,...,n_k \ge m</tex>. Тогда число Рамсея <tex>r_m(k;n_1,...n_k)</tex> существует(то есть, конечно)|proof=
Теорема 10,4. Пусть то, fc,ni,... ,пк — патуралънье число, причём к > 2. ani,... ,пк > т. Тогда число Рамсея rm(k;ni,... ,пк) существует) (то eemt ксиечьоу
Доказательство, 1, Мы будем доказывать теорему пс индукции. Начнем сс случая к = 2. Приступая к доказательству для числа rm(ni,n2) мы будем считать доказанным утверждение теоремы для чисел Рамсея всех меньших размерностей и чисел Рамсея размерности то с меньшей суммей ni+n2. В качестве базы будем использовать случай чисел Рамсея размерности 2 разобранный выше. Итак, мы докажем, что
rm(k;nx, ...,nk)<q = rm(rm(k - ... ,nfc_i),nfe).
Для этою мы рассмотрим множестве М на g вершинах и произвелвг ную раскраску р : Мт —> [l..k] е /с цестов. Рассмотрим раскраску р' : Мт -д {О, А;}, е которой цвета 1,..., fc — 1 раскраски р склеены в цвет С. Тогда существует либс таксе подмножество М0 С М что |М0| = гт(/ь — 1; ni,..., ?Tfc_i) и р'(Д) = 0 на всех А £ М™. либо сушестЕует такое г^-злементное педмножестпе с М. что р(А) = р'{А) — к на Есех А 6 М£\ Во Егерем случае Мк — искомое подмножество а е пер-есм случае заметим чте на любом подмножестве А £ М™ из р'{А) = О следует р{А) £ [l..fc — 1]. Исходя из размера множества М0 по индукни-еннсму предположению получаем, чте найдется искомое подмнсжество множества М для одного из цветов 1,..., к — 1 □
}}
==Числа Рамсея для произвольных графов==
