299
правок
Изменения
→Случай двудольного графа
Условие оставляет незаполненными <tex>n+1-d_P(b_j)\ge 1</tex> элементов множества <tex>Y_j</tex> (единственное ограничение эти элементы не могут быть вершинами <tex>x_1,...,x_n</tex>). Поместим в <tex>Y_j</tex> элемент-индекс <tex>z_j</tex> (чтобы <tex>Y_j\not=Y_l</tex> при <tex>j \not=l</tex>, и дополним произвольно элементами из <tex>y_1,...,y_n</tex>, чтобы в множестве <tex>Y_j</tex> было ровно <tex>n+1</tex> элементов.
}}
{{Лемма 1С.З. |statement=Для любого аоуаолъного двудольного графа Н сугьестеует <tex>H</tex> существует такой двудольный двудольный граф <tex>G</tex>, что для любой раскраски рёбер <tex>G </tex> в два цвета обязательно обязательно существует погруженьс ip погружение <tex>\phi</tex> графа Н <tex>H</tex> в граф <tex>G </tex> в котором все рёбра р<tex>\phi(НH) </tex> одноцветны.|proof= {{Утверждение|statement=Замечание 10.5. Разумеется, указанный е уел сени леммы 1С.З граф G будет рамсееЕСким графем для Я. Утверждение леммы белее сильное: мы дополнительно требуем, чтобы ьсе вершины одной дели Я можно было погрузить в одну долю графа G.Доказательство. Венду }}Ввиду леммы 1С.2 дестаточне достаточно доказать утверждение для оссбогс особого двудольного графа Я <tex>H= (V, VkV^k, Е{НE(H))</tex>. Пусть \<tex>|V\ — п Докажем чте рамсееЕСким графем |=n</tex>. Докажем что рамсеевским графом для Я <tex>H</tex> будет ссобый особый двудольный граф <tex>G=(U,U2kU^{2k-\1},E(G))</tex>, где<br>\<tex>|U\ |= r2kr_{2k-1}(2C^k_{2C%k_12k-1};kn + k- l1,...,kn + k- 1). ЦСД</tex><br>Рассмотрим произвольную раскраску рёбер графа <tex>G </tex> в два иЕета цвета 1 и 2, . Каждое множсстес множество <tex>Y Е U2k~\in U^{2k-1 смежне }</tex> смежно как Есршнна вершина особого двудольного графа <tex>G </tex> с 2к — <tex>2k-1 </tex> вершиной, хотя бы к <tex>k</tex> из этих рёбер имеет одинаксЕый иЕет Еыберем одинаковый цвет. Выберем и зафиксируем для каждого мвсжества множества <tex>Y </tex> его подмножество подмножество <tex>S(Y). состсяшее </tex>, состоящее из к <tex>k</tex> вершин доли <tex>U </tex> соединённых с <tex>Y </tex> рёбрами сдинакоЕСго иЕетаодинакового цвета. Пусть с<tex>c(УY) 6 \in \{1,2\} </tex> — это пест цвет рёбер соединяющий <tex>Y </tex> с вершинами из <tex>S(Y)</tex>.
Можно считать, что элементы U упорядочены Тогда элементы каждого множестЕа Y е и2к~г будут упорядочены. Обозначим через <т(У) мисжество номеров к элементсЕ множества S(Y) в порядке элементов мисжества Y Тогда ег(У) может привимать рсЕвс С^_х значений
Покрасим множсстес t/2fe_1 (тс есть все (2к — 1)-элементные подмножества [/) в2Скк_1 пестов: цветем подмножества У будет нара (ег(У),с(У)) Из выбора размера мвсжества U (см. условие (1С.6)) следует, что существует такое ЕСдмножестЕС W с U. что |1У| = кп + к — 1 и Есе псд-мвсжества У с \У2к~г имеют одинаковый цвет (сг(У),с(У)) (не умаляя сбшнссти будем считать, что ег(У) = а. с(У) = 1(. Мы найдём погружение графа Н е G(W). все рёбра е котором покрашены в исходной раскраске в цвет 1 и тем самым докажем лемму.
Положим (р((ц) = U. Остаётся корректно определить ip(Z) для каждого мвсжества Z eVk. Прежде чем построить (p(Z) = У 6 и2к~х мы положим S(Y) = {(р(х) : х G Z}. Из определения погружения понятно, что тогда должно выполняться условие S(Y) — У П Т. а следовательно, нам нужно дополнить множество У ешё к — 1 элементами, не входящими в мвсжество Т. Мы сделаем это так, чтобы множестве порядксЕ номеров элементов множества S(Y) среди элементсЕ множества У было <т(У) = о так как U = wki. не входящих е Т элементов W хватит, чтобы обеспечить это.
Так как по ьыберу мвсжества W мы имеем сг(У) = о. мнежество S(Y) Еыбрано корректно и, опять же е силу ьыбера W. ьсе рёбра особого ДЕудольнсго графа G между Еершинами из S(Y) — {(р(х) : х е Z} и У = ip(Z) покрашены в нвет 1. В завершение остается лишь добавить, что при Z ф Z' мы во построению имеем S(jp(Z)) ф S((p(Z')), поэтому '•p(Z) ф (p(Z'). Таким образом искомое погружение вестроено. □
}}
===Случай произвольного графа===
