222
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Рассмотрим задачу нахождения кратчайшего пути от точки <tex> S </tex> до <tex> T </tex> с препятствиями. Для начала рассмотрим движение материальной точки, случай произвольного полигона будет [[Visibility graph и motion planning#Motion planning|позднее]]. Для нахождения можно построить [[Трапецоидная карта | трапецоидную карту]], соединить ребрами середины вертикальных сторон с центрами трапецоидов и в этом графе любым алгоритмом поиска кратчайших путей (например, алгоритмом [[Алгоритм Дейкстры|Дейкстры]] или [[Алгоритм A*|A*]]) найти путь от <tex> S </tex> до <tex> T </tex>. Но этот путь, очевидно, не будет кратчайшим.
Однако этот алгоритм обширно используется, так как трапецоидная карта дает хорошее приближение, строится за <tex> O(n \log n) </tex> и занимает <tex> O(n) </tex> памяти, в то время как точные решения в лучшем случае работают за <tex> O(n^2) </tex> и требуют <tex> O(n^2) </tex> памяти.
{{Лемма
Пусть кратчайший путь {{---}} не ломаная. Тогда рассмотрим участок пути, где он не является прямым. По неравенству треугольника в окрестности этого участка мы сможем немного срезать. Значит этот путь не кратчайший. Противоречие, значит лемма доказана.
}}
Таким образом для нахождения точного решения определим visibility graph. Его вершины {{---}} вершины полигонов. Между вершинами <tex> u </tex> и <tex> v </tex> существует ребро, если из <tex> u </tex> <i> видна </i>(mutually visible) <tex> v </tex> (ребра полигонов тоже входят в этот граф). Теперь, если мы добавим к множеству вершин <tex> S </tex> и <tex> T </tex> (и ребра в видимые вершины), у нас получится граф, в котором опять же Дейкстрой любым алгоритмом находим кратчайший путь. По лемме любое ребро кратчайшего пути {{---}} ребро visibility графа, так что мы нашли то, что нужно.
Чтобы уменьшить объем графа, из него можно удалить ребра, по которым точно не пройдет путь.
[[Файл:zamrefr2.png|300px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]]
[[Файл:zamrefr3.png|300px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]]
Однако можно это сделать за <tex> O(n ^ 2 \log n) </tex>. Для каждой вершины найдём все видимые из неё вершины при помощи метода плоского заметания. Нам нужно решить следующую задачу: на плоскости дано множество отрезков (рёбер препятствий) и точка <tex> p </tex>. Найти все концы отрезков, видимые из точки <tex> p </tex>. Будем заметать плоскость вращающимся лучом с началом в точке <tex> p </tex>. Статусом заметающей прямой будет отрезки, которые её пересекают, упорядоченные по возрастанию расстояния от точки <tex> p </tex> до точки пересечения. Точками событий будут концы отрезков. Итак, первым делом вершины <tex> w \in W </tex> сортируются по углу между лучом <tex> vw </tex> и вертикальной полуосью, проходящей через <tex> v </tex>. Затем происходит инициализация множества видимых вершин (по умолчанию, такое множество пустое). Далее начинается заметание плоскости. В порядке сортировки вершин для каждой из них выполняется проверка: видна ли вершина <tex> w </tex> из вершины <tex> v </tex>. Поскольку такая проверка означает наличие пересечений, которые хранятся в сбалансированном дереве, она может быть выполнена за <tex> O(\log n) </tex>. Если вершина видима, необходимо добавить её в список видимых вершин. И, наконец, вне зависимости от видимости вершины, необходимо изменить статус заметающей прямой. Для этого, для текущей вершины <tex> w </tex> необходимо удалить из списка текущих пересечений все рёбра (отрезки), которые заканчиваются в этой вершине (лежат слева от прямой <tex> vw </tex>) и добавить все рёбра (отрезки), которые в ней начинаются (лежат справа от прямой <tex> vw </tex>).
Вершин у нас <tex> O(n) </tex>, сортим за <tex> O(n \log n) </tex> плюс запросы в дереве за <tex> O(n) * O(\log n) </tex>. Итого что хотели.
