222
правки
Изменения
Нет описания правки
Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство {{---}} Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)
Пусть у нас прямые заданы уравнениями вида <tex> Ax + By + C = 0 </tex>. Тогда предикат проверки того, что прямая <tex> l'' : A''x + B''y + C'' = 0 </tex> лежит над пересечением прямых <tex> l : Ax + By + C = 0 </tex> и <tex> l' : A'x + B'y + C' = 0 </tex> будет равен : <tex>\begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix}</tex>.
Давайте это покажем. Нам надо определить знак <tex> Ax_0 A''x_0 + By_0 B''y_0 + C '' </tex>, где <tex> (x_0, y_0) </tex> {{---}} точка пересечения прямых <tex> l' </tex> и <tex> l </tex>.
<tex>
\begin{pmatrix}
A & B\\
A' & B'
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-C\\
-C'
\end{pmatrix}
</tex>.
<tex>
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix} =
\frac{
\begin{pmatrix}
B' & -B\\
-A' & A
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-C\\
-C'
\end{pmatrix}}
{
\begin{vmatrix}
A & B\\
A' & B'
\end{vmatrix}
}
</tex>. Подставим это решение в <tex> A''x_0 + B''y_0 + C'' </tex> и домножим на определитель:
<tex> A'' (B'; -B)(-C; -C') + B'' (-A'; A)(-C; -C') + C \begin{vmatrix} A & B \\ A' & B' \end{vmatrix} = A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} + C'' \begin{vmatrix} A & A' \\ B & B' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A'' & A' & A \\ B'' & B' & B \\ -C'' & -C' & -C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & B & C \\
A' & B' & C' \\
A'' & B'' & C'' \end{vmatrix} </tex>.
