1632
правки
Изменения
м
[[Файл:Suffix_tree_3.png|thumb|right|Суффиксное дерево для строки <tex>xabxa</tex> с защитным символом]]
Количество Число внутренних вершин дерева, каждая из которых имеет не менее двух детей, меньше количества числа листьев.
Докажем лемму индукцией по количеству листьев <tex>n</tex>.
'''База''': Докажем лемму индукцией по числу листьев <tex>n</tex>.
При <tex>n = 2</tex> в дереве одна внутренняя вершина, следовательно утверждение верно.: '''База'''
'''Переход''' : При <tex>n \rightarrow n + 1= 2</tex>в дереве одна внутренняя вершина, следовательно утверждение верно.
Возьмем вершину в дереве с : '''Переход''' <tex>n \rightarrow n + 1</tex> листами, у которой два ребенка {{---}} листья. Рассмотрим возможные случаи:
1) У нее более двух детей. Тогда отрежем от нее лист. Получим дерево : Возьмем вершину в дереве с <tex>n+ 1</tex> листьямилистами, причем в нем количество внутренних вершин такое же, как в исходном дереве. Но у полученного дерева по индукционному предположению менее <tex>n</tex> внутренних вершин, а, значит, и для исходного дерева лемма вернакоторой два ребенка {{---}} листья.Рассмотрим возможные случаи:
2) # У нее более двух детей. Тогда отрежем от нее лист. Получим дерево с <tex>n</tex> листьями, причем в нем число внутренних вершин такое же, как в исходном дереве. Но у полученного дерева по индукционному предположению менее <tex>n</tex> внутренних вершин, а, значит, и для исходного дерева лемма верна.# У нее ровно два ребенка. Отрежем их, получим дерево с <tex>n - 1</tex> листьями, количество число внутренних вершин которого на <tex>1</tex> меньше, чем в исходном дереве. Тогда по индукционному предположению у него менее <tex>n - 1</tex> внутренних вершин, значит, в исходном дереве их меньше <tex>n+ 1</tex>.
go[0] = Vertex() // корень
count = 0 // номер последней вершины, созданной в дереве (глобальная переменная)
'''for''' i = 0 '''to''' n: // для каждого символа строки
insert(i, n) // добавляем суффикс, начинающийся с него
* # Количество различных подстрок данной строки.* # Наибольшую общую подстроку двух строк.* # [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]] и массив <tex>lcp</tex> (''longest common prefix'') исходной строки.# Строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо за <tex>ST + O(n)</tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
[[Суффиксный бор|Суффиксный бор]] {{---}} удобная структура данных для поиска подстроки в строке, но она требует порядка квадрата длины исходной строки памяти. Оптимизацией суффиксного бора, требующей линейное количество памяти, является '''сжатое суффиксное дерево''' (англ. ''compressed suffix tree''), рассматриваемое далее.
==Определение==
{{Определение
|neat = 1
|id=suffix_tree
|definition =
'''Суффиксное дерево''' (сжатое суффиксное дерево) <tex>T</tex> для строки <tex>s</tex> (где <tex>|s| = n</tex>) {{---}} дерево с <tex>n</tex> листьями, обладающее следующими свойствами:
*Каждая каждая внутренняя вершина дерева имеет не меньше двух детей;*Каждое каждое ребро помечено непустой подстрокой строки <tex>s</tex>;*Никаких никакие два ребра, выходящие из одной вершины, не могут иметь пометок, начинающихся с одного и того же символа;*Дерево дерево должно содержать все суффиксы строки <tex>s</tex>, причем каждый суффикс заканчивается точно в листе и нигде кроме него.}}[[Файл:Suffix_tree_3.png|250px|thumb|Суффиксное дерево для строки <tex>xabxa</tex> с защитным символом]]
'''Данное определение порождает следующую проблему:''' <br/>
Рассмотрим дерево для строки <tex>xabxa</tex>: суффикс <tex>xa</tex> является префиксом суффикса <tex>xabxa</tex>, а, значит, этот суффикс не закачивается в листе. Для решения проблемы в конце строки <tex>s</tex> добавляют символ, не входящий в исходный алфавит: '''''защитный''''' символ. Обозначим его как <tex>\$</tex>. Любой суффикс строки с защитным символом действительно заканчивается в листе и только в листе, т. к. в такой строке не существует двух различных подстрок одинаковой длины, заканчивающихся на <tex>\$</tex>.
Далее <tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex> с защитным символом.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
==Количество Число вершин==По определению, в суффиксном дереве содержится <tex>n</tex> листьев. Оценим количество число внутренних вершин такого дерева.
{{Лемма
|statement=
|proof=
}}
==Занимаемая память==
Представим дерево как двумерный массив размера <tex>|V| \times |\Sigma|</tex>, где <tex>|V|</tex> {{---}} количество число вершин в дереве, <tex>|\Sigma|</tex> {{---}} мощность алфавита. Для любого суффиксного дерева верна предыдущая лемма (у каждой вершины, по определению, не менее двух детей), значит, <tex>|V| = O(2 n)</tex>. Каждая <tex>a[i][j]</tex> ячейка содержит информацию о том, в какую вершину ведет ребро из <tex>i</tex>-ой вершины по <tex>j</tex>-ому символу и индексы <tex>l, r</tex> начала и конца подстроки, записанной на данном переходе. Итак, дерево занимает <tex>O(n|\Sigma|)</tex> памяти.
==Построение суффиксного дерева==
===Наивный алгоритм===
Рассмотрим наивный алгоритм построения суффиксного дерева строки <tex>s</tex>:
'''struct''' Vertex: <span style="color:Green">// Структура, содержащая информацию о вершине </span> '''int''' l <span style="color:Green">// индекс начала подстроки </span> '''int''' r <span style="color:Green">// индекс конца подстроки </span> '''int''' v <span style="color:Green">// индекс текущей позиции </span> go[0] = '''new''' Vertex <span style="color:Green">// массив из пустых Vertex (можно все поля положить -1), размер массива -- количество символов в алфавите </span> count = 0 <span style="color:Green">// номер последней вершины, созданной в дереве (глобальная переменная)</span> '''for''' i = 0 '''to''' n <span style="color:Green">// для каждого символа строки</span> insert(i, n) <span style="color:Green">// добавляем суффикс, начинающийся с него</span> '''void''' insert('''int''' l, '''int''' r):
cur = 0
'''while''' (l < r:) '''if''' (go[cur][s[l]].v == -1) <span style="color: Green">// если мы не можем пойти из вершины по символу <tex> l </tex></span> createVertex(cur, l, r) <span style="color:Green">// создаем новую вершину </span> '''else:'''
start = go[cur][s[l]].l
finish = go[cur][s[l]].r
hasCut = ''false'' '''for''' j = start '''to''' finishand l + j - start < n <span style="color: Green">// для каждого символа на ребре из текущей вершины</span> '''if''' (s[l+j-start] <tex> \neq </tex> != s[j]) <span style="color: Green">// если нашли не совпадающий символ</span> <span style="color:Green">// создаем вершину на ребре</span>
old = go[cur][s[l]]
createVertex(cur, l, j - 1)
go[count][s[j]].v = old
go[count][s[j]].r l = j go[count][s[j]].l r = finish
createVertex(count, l + j - start, r)
hasCut = ''true''
'''break'''
'''if''' (!hasCut:) cur = go[cur][s[l]].v <span style="color:Green">// переходим по ребру</span> l = l + finish - start <span style="color:Green">// двигаемся по суффиксу на длину подстроки, записанной на ребре</span> '''else:'''
'''break'''
'''void''' createVertex('''int''' cur, '''int''' l, '''int''' r): go[++count] = '''new''' Vertex()
go[cur][s[l]].v = count
go[cur][s[l]].l = l
go[cur][s[l]].r = r
Этот алгоритм работает за время <tex>O(n^2)</tex>, однако [[Алгоритм Укконена| алгоритм Укконена]] позволяет построить сжатое суффиксное дерево за <tex>O(n)</tex>.
===Построение из суффиксного массива===
Пусть нам известен [[Суффиксный массив| суффиксный массив]] <tex>suf</tex> строки <tex>s</tex>, его можно получить [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| алгоритмом Карккайнена-Сандерса]] за линейное время. Для преобразования нам также понадобится массив <tex>lcp</tex> (''longest common prefix''), который можно получить [[Алгоритм Касаи и др.| алгоритмом Касаи]].
В этом преобразовании используется тот же инвариант, что и в других суффиксных структурах:
# Строка <tex>s</tex> заканчивается специальным символом, который больше не встречается в строке.
# (Следствие) : <tex>lcp[i] < len[i - 1]</tex>, где <tex>len[i - 1]</tex> {{---}} длина суффикса, соответствующего <tex>suf[i - 1]</tex>.
Будем строить дерево, добавляя суффиксы в лексикографическом порядке. Чтобы ускорить добавление, будем использовать то, что <tex>i</tex>-ый суффикс имеет с предыдущим <tex>lcp[i]</tex> общих символов. Тогда добавление из корня не отличается от того, что мы поднимемся вверх из предыдущего суффикса до глубины <tex>lcp[i]</tex> и продолжим построение оттуда. Инвариант позволяет нам утверждать, что ни один лист мы не сможем продолжить, и нам всегда нужно будет хоть раз подняться из него вверх. Поскольку суффиксы отсортированы лексикографически, мы не будем спускаться по ребру после того, как уже поднялись из него из-за несовпадения символа. Все это позволяет сформулировать алгоритм добавления суффикса по известной вершине предыдущего суффикса:
# Подняться из вершины вверх до глубины <tex>lcp</tex>.
# Если эта глубина находится на ребре, разрезать ребро по ней.
# Вставить новую вершину как сына вершины с глубиной <tex>lcp</tex>.
В вершинах дерева <tex>Node</tex> мы будем хранить предка <tex>\mathtt {parent}</tex>, [[Стек| стек]] детей в лексикографическом порядке ребер <tex>\mathtt{children}</tex>, глубину вершины в символах от корня <tex>\mathtt{depth}</tex>.
Соответственно, конструктор вершины имеет вид <code>Node(Node parent, '''int''' depth)</code>.
<code>
'''Node ''' addNextSuffix('''Node ''' previous, '''int''' length, '''int''' lcp): '''if''' (previous.depth == 0 '''or''' previous.depth == lcp: ) <font color=green> // Добавляем к сыновьям текущей вершины </font> added = '''Node'''(previous, length) previous.children.'''push'''(added)
'''return''' added
'''else:''' '''if''' previous.parent.depth < lcp: <font color=green> // Нужно разрезать ребро </font> inserted = '''Node'''(prevous.parent, lcp) previous.parent.children.'''pop'''() previous.parent.children.'''push'''(inserted) inserted.children.'''push'''(previous)
previous.parent = inserted
'''return''' addNextSuffix(previous.parent, length, lcp)
'''Node ''' buildSuffixTree('''int[]''' suf, '''int[]''' lcp, '''int''' length): root = '''Node'''('''null''', 0)
previous = root
'''for''' i = 1 '''to''' length:
previous = addNextSuffix(previous, length - suf[i], lcp[i])
'''return''' root
</code>
В процессе построения мы нигде не запоминали сами позиции строки, соответствующие ребрам. Чтобы их восстановить, достаточно определить максимальный суффикс, который проходит по этому ребру. Для этого с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]] посчитаем для каждой вершину дерева максимальную глубину ее листа <tex>\mathtt{maxDepth}</tex>.
Тогда ребро <tex>s[start, end]</tex> определяется так:
<code>
'''functionvoid''' calculatePositions('''Node ''' parent, '''Node ''' child, '''int''' stringLength):
start = stringLength - child.maxDepth + parent.depth
end = start + child.depth - parent.depth - 1
</code>
Для асимптотического анализа будем использовать в качестве [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов| потенциала]] глубину в вершинах. При добавлении суффикса мы спускаемся один раз, подняться выше корня мы не можем, значит , и подниматься мы будем суммарно <tex>O(n)</tex> раз. Обход в глубину также выполняется за <tex>O(n)</tex>, итоговая асимптотика <tex>O(n)</tex>.
==Использование сжатого суффиксного дерева==
Суффиксное дерево позволяет за линейное время найти:
===Построение суффиксного массива и массива lcp из суффиксного дерева===
Тогда суффиксный массив строится из суффиксного дерева [[Обход в глубину, цвета вершин| обходом в глубину]] в указанном порядке.
Пусть длина строки <tex>\mathtt{length}</tex>, глубина листа в символах <tex>\mathtt{depth}</tex>, тогда номер суффикса <tex>\mathtt{i = length - depth}</tex>.
Для заполнения массива <tex>lcp</tex> нам понадобится вершина <tex>\mathtt{minNode}</tex>, которая будет означать вершину с минимальной глубиной, в которую мы поднимались при переходе между суффиксами. Поскольку мы точно поднимались туда, но не поднимались выше, это будет [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ| наименьший общий предок]] этих узлов. Из этого следует, что у рассматриваемых суффиксов совпадает ровно <tex>\mathtt{lcp = minNode.depth}</tex> символов.
<code>
'''int''' curPos = 0
'''Node ''' minNode = root
<font color=green>// Для заполнения нужно вызвать dfs(root) </font>
'''functionvoid''' dfs('''Node ''' n): '''if''' n.children.size == 0:
suf[curPos] = length - n.depth
lcp[curPos] = minNode.depth
curPos++
minNode = n
'''else:''' '''foreach''' child '''in''' n.children:
'''if''' n.depth < minNode.depth:
minNode = n
Таким образом, мы умеем за <tex>O(n)</tex> строить [[Алгоритм Укконена| суффиксное дерево]], [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| суффиксный массив]] и преобразовывать одно в другое.
==Источники=Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо==={{Определение|definition=*''Дэн Гасфилд'Строка <tex>s</tex> называется ветвящейся вправо в <tex>t</tex>''' (англ. ' — 'right branching string''Строки), деревья если существуют символы <tex>c</tex> и последовательности в алгоритмах<tex>d</tex>, такие что <tex>c</tex> <tex>\ne</tex> <tex>d</tex> : Информатика <tex>sc</tex> и вычислительная биология<tex>sd</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>. Аналогично, '''ветвящаяся влево''' — СПб(англ.''left branching''), если <tex>cs</tex> и <tex>ds</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>.}}[[Файл: Невский Диалект; БХВRightMergingSS.png|thumb|400px|center|Суффиксное дерево для строки <tex>aabcabd</tex>]]Построим cуффиксное дерево при помощи [[Алгоритм Укконена|алгоритма Укконена]]. В полученном дереве не листовой вершине <tex>v</tex> будет соответствовать подстрока <tex>s</tex>, которая ветвится вправо, при условии, что количество "хороших" детей вершины <tex>v > 2</tex> ("хорошие" дети {{---}} листы, метка которых <tex>\ne\$</tex>). В примере для строки <tex>aabcabd</tex> это <tex>b</tex>, <tex>a</tex> и <tex>ab</tex>. Далее введём термины ''левый символ'' и ''вершина различная влево'', чтобы найти строки, ветвящиеся влево.{{Определение|definition='''Левый символ''' для позиции <tex>i</tex> строки <tex>S</tex> {{---}} это символ <tex>S(i-1)</tex>.'''Левым символом''' листа <tex>L</tex> называется ''левый символ'' начала суффикса, ведущего в этот лист.}}{{Определение|definition='''Вершина <tex>v</tex> различна влево''', если как минимум два листа в поддереве <tex>v</tex> имеют различные ''левые символы''. По определению лист не может быть различным влево.}}[[Файл:LeftBranchingSS.png|thumb|400px|right|Левые вершины и символы для суффиксного дерева над строкой <tex>aabcabd</tex> (символом <tex>\#</tex> помечены различные влево вершины)]]Допустим, что строка ветвится влево. Пусть существуют подстроки <tex>cs</tex> и <tex>ds</tex>, тогда есть два суффикса, начинающиеся с <tex>s</tex>, которым соответствуют различные листовые вершины с различными левыми символами (<tex>c</tex> и <tex>d</tex>). Также в дереве существует внутренняя вершина <tex>v</tex>, соответствующая строке <tex>s</tex>. Из определения следует, что <tex>v</tex> различна влево. Чтобы найти строки, ветвящиеся влево, нужно проверить все внутренние вершины суффиксного дерева на различность влево. Если какая-Петербургто вершина <tex>v</tex> будет различна влево и удовлетворять свойству ветвимости право, то строка, 2003соответствующая вершине <tex>v</tex> будет ветвится вправо и влево. — 654 Чтобы найти вершины различные влево, нужно хранить левый символ для каждой вершины или информацию о том, что она различна влево. Для поиска строки, ветвящейся влево, нужно промаркировать всё дерево. Сделать это можно при помощи [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]]. Начиная скорня, спускаясь вниз, для листов левый символ уже известен {{---}} при добавление нового суффикса в дерево записываем левый символ для него в лист, для вершины <tex>v</tex> запустим проверку. :'''Случай 1.''' Если среди левых детей <tex>v</tex> есть хотя бы один, удовлетворяющий свойству различности влево, то обозначаем <tex>v</tex> как различную влево вершину (в суффиксном дереве свойство различности влево передаётся от детей к родителю {{---}} строка соответствующая вершине <tex>v</tex> и строка соответствующая ребёнку <tex>v</tex> начинаются с одного и того же символа). : ил'''Случай 2.''' Если среди левых символов детей <tex>v</tex> нет ни одного со свойством различная влево вершина, то проверяем на совпадение левые символы детей. ::'''Случай 2.1.''' Если все левые символ детей <tex>v</tex> одинаковы и эквивалентны <tex>x</tex>, то записываем в <tex>v</tex> этот символ <tex>x</tex>. ::'''Случай 2.2.''' Если не все левые символы детей <tex>v</tex> эквивалентны, то записываем в <tex>v</tex>, что она различна влево. Так как время проверки <tex>v</tex> пропорционально числу детей, время работы всего алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>. Теперь несложно среди всех найденных строк найти строку максимальной длины (также этот алгоритм можно использовать для нахождения количества строк, ветвящихся влево и вправо). Таким образом можно найти строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо, за время <tex>ST+O(n)</tex>, где <tex>ST</tex> {{---}} время построения суффиксного дерева.
==См. также==
* [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]]
* [[Алгоритм Укконена| Алгоритм Укконена]]
==Источники информации==
*''Дэн Гасфилд'' — '''Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Словарные структуры данных ]]
