308
правок
Изменения
Нет описания правки
|about=1
|definition=
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, B \rangle</tex> {{---}} это [[Определение_матроида | матроид]] <tex>M^* = \; \langle X, \mathcal B^* \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} </tex> {{- --}} множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>
}}
# Следует из <tex> | \mathcal B | = | \mathcal B^* | </tex>.
# Пусть Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex> . Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2}\ (B_1, B_2 \in \mathcal B):\ </tex> <tex> \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 \Rightarrow B_1 = B_2 \Rightarrow \overline {B_1} = \overline {B_2} </tex>{{---}} противоречие.# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex> Так как <tex> p\notin {B_1},</tex> то в <tex> B_1 \cup p </tex> имеется точно один цикл <tex>C</tex>. Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, т.к. разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{- --}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.
}}
Необходимо показать: <tex> I_1 = I_2 </tex>
* <tex> A \in I_1 \Rightarrow A \in I_2 </tex>
*: Для начала покажем от противного, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \in subseteq B </tex>.*:: Предположим <tex> C S \in I </tex> {{--- }} множество максимального размера среди таких, что <tex> A \in C subseteq S </tex>, причём <tex> C S </tex> {{---}} не база. Возмём также какое-нибудь <tex> B \in \mathcal B</tex>. *:: Раз <tex> C S </tex> не база, то <tex> |CS| < |B| </tex>. В таком случае по [[Определение_матроида | 3-ему свойству матроидаей аксиоме матроидов]] <tex> \exists b \in B: \ C S \cap cup b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> C S \cap cup b </tex> имеет большую мощность чем <tex> C S </tex>.
*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M_1^* </tex>, включающую в себя <tex> A </tex>. По '''определению 1''' <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по '''определению 2''' <tex> A \in I_2 </tex>.
