Изменения

Пусть не так. Тогда <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> такой, что множество векторов <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> - — линейно зависимо. Значит , оно образует базис в пространстве векторов <tex>U</tex> "натянутом" на множество векторов <tex>A \cup B</tex>. Но тогда <tex>| A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} | > | B | </tex>, так как мощность базиса больше мощности любого линейно-независимого множества, а <tex>B</tex> - линейно-независимо, а по условию <tex>| A | + 1 \leqslant | B | </tex>. Противоречие, значит предположение не верно и 3-е свойство тоже выполнено.