Изменения

Ациклический граф '''Дерево''' (англ. ''tree'') {{--- }} связный ациклический [[Основные определения теории графов|граф, в котором нет циклов]]. 

Дерево '''Лес''' (англ. ''forest'') {{- это связный ациклический --}} [[Основные определения теории графов|граф]], являющийся набором непересекающихся деревьев.

{{Определение[[Файл:tree_def_2.png|400px|definition =Примеры леса]]Граф, не содержащий циклов, называется лесом. }}==ТеоремаОпределения=={{ТеоремаДля графа <tex>G</tex> эквивалентны следующие утверждения:|statement=# <tex>G</tex> — дерево.Для # Любые две вершины графа <tex>G</tex> с соединены единственным простым путем.# <tex>G</tex> — связен и <tex> p = q + 1 </tex>, где <tex>p</tex> вершинами — количество вершин, а <tex>q</tex> количество ребер.# <tex>G</tex> — ацикличен и <tex> p = q + 1 </tex>, где <tex>p</tex> — количество вершин, а <tex>q</tex> ребрами следующие утверждения эквивалентны:количество ребер.# <tex>G</tex> — ацикличен и при добавлении любого ребра для [[Основные определения теории графов|несмежных вершин]] появляется один простой [[Основные определения теории графов|цикл]].# <tex>G</tex> — связный граф, отличный от <tex> K_p </tex> для <tex> p > 3 </tex>, а также при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.# <tex>G</tex> — граф, отличный от <tex> K_3 \cup K_1 </tex> и <tex> K_3 \cup K_2 </tex>, а также <tex> p = q + 1) </tex>, где <tex>p</tex> — количество вершин, а <tex>Gq</tex> - дерево;количество ребер, и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.

2) любые две вершины в ==Доказательство эквивалентности==<tex>G1 \Rightarrow 2 </tex> :Граф связен, поэтому любые две вершнины соединены единственной простой цепью;путем. Граф ацикличен, значит путь единственен, а также [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|прост]], поскольку никакой путь не может зайти в одну вершину два раза, потому что это противоречит ацикличности.

<tex> 2 \Rightarrow 3) </tex> :Очевидно, что граф связен. Докажем по индукции, соотношение <tex>p = q + 1</tex>. Утверждение очевидно для связных графов с одной и двумя вершинами. Предположим, что оно верно для графов, имеющих меньше <tex>p</tex> вершин. Если же граф <tex>G</tex> связный имеет <tex>p</tex> вершин, то удаление из него любого ребра делает граф и <tex> G </tex> несвязным в силу единственности простых цепей; более того, получаемый граф будет иметь в точности две компоненты. По предположению индукции в каждой компоненте число вершин на единицу больше числа ребер. Таким образом, <tex>p = q + 1</tex>;.

4) <tex>G3 \Rightarrow 4 </tex> ациклический :Очевидно, что если граф связен и <tex>ребер на одно меньше, чем вершин, то он ацикличен. Преположим, что у нас есть p = q + 1</tex>;вершин, и мы добавляем ребра. Если мы добавили ребро для получения цикла, то добавили второй путь между парой вершин, а значит нам не хватит его на добавление вершины и мы получим не связный граф, что противоречит условию.

<tex> 4 \Rightarrow 5) </tex> :<tex>G</tex> - — ациклический граф, и если любую праву несмежных значит каждая компонента связности графа является деревом. Так как в каждой из них вершин соединить ребром на единицу больше чем ребер, то <tex>xp = q + k </tex>, где <tex>k</tex> — число [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]]. Поскольку <tex> p = q + k </tex>, то в графе <tex> k = 1 </tex>, а значит <tex>G + x</tex> будет точно один — связен. Таким образом наш граф — дерево, у которого между любой парой вершин есть единственный простой путь. Очевидно, при добавлении ребра появится второй путь между парой вершин, то есть мы получим цикл;.

6) <tex>G5 \Rightarrow 6 </tex> - связный граф, отличный от K:Поскольку <subtex>pK_p </subtex> для <tex>p \ge > 3</tex>содержит простой цикл, и если любую пару несмежных вершин соединить ребром то <tex>xG</tex>, то в графе не может им являться. <tex>G + x</tex> будет точно один простой цикл;связен, так как в ином случае можно было бы добавить ребро так, что граф остался бы ациклическим.

7) <tex>G6 \Rightarrow 7 </tex> - Граф:Докажем, отличный от K₃ что любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, а тогда поскольку <tex>2 \cup</tex> K₁ и K_{Rightarrow 3}<tex>\cup</tex> K₂, получим <tex>p = q + 1</tex>. Любые две вершины соединены простой цепью, и если любую пару несмежных вершин соединить ребром <tex>x</tex>, то в графе так как <tex>G + x</tex> будет точно один простой цикл.|proof= Для примера докажем эквивалентность первых четырёх утверждений — связен.1) <tex> \to </tex> 2) Поскольку <tex>G</tex> связный граф, то любые Если две его вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Пусть Причем он должен являться <tex>P_1K_3 </tex> и <tex>P_2</tex> - , так как иначе добавив ребро, соединяющее две различные простые цепивершины цикла, соединяющие вершины мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию. <tex>uK_3 </tex> и является собственным подграфом <tex>vG</tex>, и пусть поскольку <tex>wG</tex> - первая вершина, принадлежащая не является <tex>P_1K_p </tex> (при переходе по для <tex>P_1p > 3 </tex> из . <tex>uG</tex> в — связен, а значит есть вершина смежная с <tex>vK_3 </tex>). Очевидно, такаяможно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то граф <tex>wG</tex> принадлежит и является <tex>P_1K_p</tex> и для <tex>P_2p > 3 </tex>, но вершинаи мы получаем противоречие с исходным условием. Значит, предшествующая ей в <tex>P_1</tex>любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, не принадлежит <tex>P_2</tex>что и требовалось.

* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. [[Категория: Алгоритмы и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.структуры данных]][[Категория: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6Основные определения теории графов]]