Изменения

Пусть <tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда с непересекающимися носителями (<tex> M_1 X_1 \oplus M_2 cap X_2 = \langle varnothing</tex>) и <tex>X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 , \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle </tex>. Иначе говоря, мы считаем, что носители матроидов тогда <tex>M_1</tex> и <tex>\oplus M_2= \langle X, I\rangle</tex> не пересекаютсяназывается '''прямой суммой матроидов'''.

{{ЛеммаУтверждение

<tex> A_1 = \varnothing \in I_1, \ A_2 = \varnothing \in I_2 \Rightarrow A_1 \cup A_2 = \varnothing \in I </tex>

2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>

Пусть <tex>B = B_1 \cup B_2, \ B_1 \in I_1, \ B_2 \in I_2</tex>, а <tex>A = A_1 \cup A_2, \ A_1 \subset B_1, \ A_2 \subset B_2</tex>.  Так как <tex>A_1 \subset B_1\Rightarrow A_1 \in I_1</tex>, значит (по второй аксиоме для <tex>I_1</tex>, ). Аналогично <tex>A_2 \in I_2</tex>. Значит <tex>A_1 \cup A_2 \in I_1I</tex>. Аналогично  3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> Пусть <tex>A = A_1 \cup A_2</tex>, <tex>B = B_1 \cup B_2</tex>, тогда <tex>\left\vert A_1 \right\vert < \left\vert B_1 \right\vert </tex> или <tex>\left\vert A_2 \right\vert < \left\vert B_2 \right\vert </tex>.  В первом случае из третьей аксиомы для <tex> I_1 \Rightarrow \mathcal {9} x \in I_2B_1 \setminus A_1, \ A_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I_1 </tex>. Значит <tex>A_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \cup A_2 \in I</tex>.  Второй случай аналогичен первому.}} ==Пример разложения матроида в прямую сумму=={{Определение|definition = Пусть <tex>X</tex> {{---}} множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество <tex>A \in I</tex>, если все элементы множества <tex>A</tex> разного цвета. Тогда <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> называется '''разноцветным матроидом''' (англ. ''multicolored matroid'').}}{{Утверждение|statement = Разноцветный матроид является матроидом.|proof =Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>. 1. <tex>\varnothing \in I</tex> В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов. 2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться. 3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> }}{{Утверждение|statement = Разноцветный матроид <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> можно представить в виде прямой суммы универсальных матроидов.|proof =Занумеруем все цвета элементов в множестве <tex>X</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>. Пусть <tex>X_i = \mathcal{f} x \mid color(x) = i \mathcal {g}</tex>, <tex>I_i = \mathcal{f} A \subset X_i \mid \left\vert A \right\vert \leqslant 1 \mathcal {g}</tex>, где <tex>i = 1 \dots n</tex>, то есть в <tex>X</tex> элементы одного цвета, а независимыми являются множества, состоящие из не более 1-ого элемента. Тогда <tex> M_i = \langle X_i, I_i\rangle</tex> является универсальным матроидом.Таким образом, <tex>M = \bigoplus\limits_{i=1}^{n} M_i = \mathcal{f} X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i, \ I = \bigcup\limits_{i=_1}^n A_i \mid A_i \in I_i \mathcal {g}</tex>.