Изменения
Нет описания правки
}}
== 9 Размерность Ker(I-A) компактного A ==
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}
----
'''Не было у year2011'''
== 6 О компактности A*, сепарабельность R(A) ==
{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex>A</tex> — компактен <tex>\implies</tex> <tex>A^*</tex> — компактен
}}
== 7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве ==
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}
Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
}}
== 8 Почти конечномерность компактного оператора ==
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
