Изменения

:* Докажем, что если для автомата верно <tex>\langle S, \alpha \rangle \vdash^* \langle U, \varepsilon \rangle </tex>, то для построенной грамматики верно <tex> S \Rightarrow^* \alpha U </tex>. Будем доказывать индукцией по переходам в автомате.

::* Индукционный переход: пусть данное свойство выполняется для переходов длины <tex>k-1</tex>. Докажем, что верно и для переходов за <tex>k</tex> шагов.

:* Докажем в обратную сторону, а именно из <tex> S \Rightarrow^* \alpha U </tex> следует <tex> \langle S, \alpha \rangle \vdash^* \langle U, \varepsilon \rangle </tex>. Доказательство также проведем по индукции. Индукция будет идти по количеству примененных подряд правил.

::* Индукционный переход: пусть верно для <tex>k-1</tex> применения правил. Рассмотрим произвольную строку, полученную за <tex>k</tex> применений правил. Рассмотрим последнее применение правила. Если оно имело вид <tex> A \to aB </tex>, значит в автомате возможен переход <tex> \langle A,a \rangle \vdash \langle B,\varepsilon \rangle </tex>, а если <tex> A \to a </tex>, то <tex> B </tex> является допускающим в автомате. Таким образом, свойство выполняется для <tex> k </tex> последовательно примененных правил. Эквивалентность языков автомата и грамматики доказана.

:* Докажем, что если слово допускается автоматом, то его можно вывести в грамматике. Рассмотрим слово <tex> \alpha </tex> длины <tex> k </tex>. Рассмотрим какую-либо последовательность переходов автомата, допускающую данное слово <tex> \langle S,\alpha \rangle \vdash^k \langle ok,\varepsilon \rangle </tex>. Для каждого одношагового перехода в автомате существует соответствующее правило в грамматике. Значит для подпоследовательности переходов из <tex> k-1 </tex> шага <tex> \langle S, \alpha \rangle \vdash^{k-1} \langle U,c \rangle </tex> существует соответствующая последовательность применений правил <tex> S \Rightarrow^{k-1} \alpha c^{-1} U </tex>. Для последнего перехода в автомате <tex> \langle U,c \rangle \vdash \langle ok, \varepsilon \rangle </tex> существует правило <tex> U \Rightarrow c </tex>. Таким образом, существует последовательность применений правил грамматики, выводящая слово <tex> \alpha </tex>.

}}