55
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|id = def1
|definition ='''Скобочная последовательность''' (анлг. ''Bracket Sequences'') {{---}} класс комбинаторных объектов, представляющих собой последовательность скобочных символов.}}
'''Примеры скобочных последовательностей'''
*<tex>(())))(</tex>
{{Определение
|id = def1
|definition ='''Правильная скобочная последовательность''' (анлг. ''Correct Bracket Sequences'') {{---}} частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:
*"" <tex>\varepsilon</tex> (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;
*пусть <tex>S</tex> {{---}} правильная скобочная последовательность, тогда <tex>(S)</tex> есть правильная скобочная последовательность;
*пусть <tex>S1</tex>, <tex>S2</tex> {{---}} правильные скобочные последовательности, тогда <tex>S1S2</tex> есть правильная скобочная последовательность;
== Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности ==
Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку <tex>s</tex>. Возьмем переменную <tex>counter</tex>, <tex>counter = 0</tex>, в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем <tex>counter</tex> на <tex>1</tex>, закрывающую {{---}} уменьшаем на <tex>1</tex>. Если на протяжении всего перебора <tex>counter</tex> было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем(все открывающие скобки закрыты, при этом нету лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.
===Псевдокод===
counter--
'''if''' counter < 0
'''return false '''if''false'' counter == 0 return true '''elsereturn''' return falsecounter == 0
Надо отметить, что скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок. При этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:
*<tex>[(]\{\})</tex> {{---}} неверно
В этом случае для проверки надо будет использовать [[Стек | стек]].
== Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей ==
!style="padding:7px"|<tex>[]()</tex>
|}
== Алгоритмы генерации ==
Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:
Для запуска алгоритма необходимо сделать вызов <tex>\mathrm{gen}</tex>(<tex>n</tex>, <tex>0</tex>, <tex>0</tex>, ""<tex>\varepsilon</tex>).*''<tex> \mathtt{ans'' }</tex> {{- --}} строка, в которой мы считаем ответ
*''counter_open'' - количество открывающих скобок в данный момент
*''counter_open'' - количество закрывающих скобок в данный момент
'''function''' gen (n: '''int''', counter_open: '''int''', counter_close: '''int''', ans: '''string''')
'''if''' counter_open + counter_close == 2 <tex>\cdot</tex> * n print (ans) '''return'''
'''if''' counter_open < n
gen(n, counter_open + 1, counter_close, ans + "(")
'''if''' counter_open > counter_close
gen(n, counter_open, counter_close + 1, ans + ")")
Если есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её. Аналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, то после этого мы ставим и её.<br>
Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как сначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку.
Также будут выведены все строки, потому что, когда мы можем поставить скобку, мы её ставим.
===Генерация следующей скобочной последовательности===
Пусть нам известна строка <tex>s</tex>, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то вывести "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить(на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности, то есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:
'''string''' next(s: '''string''')
counter_close++
delete(s, length(s) - counter_open - counter_close + 1, counter_close + l)
'''if''' s == ""<tex>\varepsilon</tex> '''return ''' "No Solution"
'''else'''
s = s +')'
'''for''' j = 1 '''to''' counter_close - 1
s = s + ')'
'''return ''' s; Если эта функция после выполнения выводит <tex>true</tex>, тогда надо напечатать полученную строку <tex>s</tex>, если <tex>false</tex>, то следует вывести "No solution".
===Получение лексикографического порядка===
'''function''' order(n: '''int''')
s = ""<tex>\varepsilon</tex>
'''for''' j = 1 '''to''' n
s = s + '('
'''for''' j = 1 '''to''' n
s = s + ')'
print s t = next(s) '''while''' t next(s) != false"No Solution" print (s t = next(s)) '''return'''
Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших <tex>n</tex>.
Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей.
Научимся считать вспомогательную [[Динамическое программирование | динамику ]] <tex>d[i][j]</tex>, где <tex>i</tex> — длина скобочной последовательности (она "полуправильная": всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), <tex>j</tex> — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), <tex>d[i][j]</tex> — количество таких последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что скобки бывают только одного типа.
Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть <tex>d[i][j]</tex> — величина, которую мы хотим посчитать. Если <tex>i = 0</tex>, то ответ понятен сразу: <tex>d[0][0] = 1</tex>, все остальные <tex>d[0][j] = 0</tex>. Пусть теперь <tex>i > 0</tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex>'('</tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex>(i-1,j-1)</tex>. Если он был равен ')', то предыдущим было состояние <tex>(i-1,j+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу:
<tex>d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1]</tex>
Перейдём теперь к решению самой задачи. Сначала пусть допустимы только скобки одного типа:
'''int''' getNumberget_number(s: '''string''')
num = 0
depth = 0
num += d[2 * n - i - 1][depth + 1]
depth--
'''return ''' num
Пусть теперь разрешены скобки <tex>k</tex> типов. Тогда при рассмотрении текущего символа <tex>s[i]</tex> до пересчёта <tex>\rm depth</tex> мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа в установленном ранее порядке, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс <tex>\rm ndepth = \rm depth \pm 1</tex>), и прибавлять к ответу количество соответствующих "хвостов" {{- --}} завершений (которые имеют длину <tex>2n - i - 1</tex>, баланс <tex>\rm ndepth</tex> и <tex>k</tex> типов скобок). Утверждается, что формула для этого количества имеет вид:
<tex>d[2n - i - 1][ndepth] \cdot k^{(2n - i - 1 - ndepth) / 2}</tex>
Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из <tex>d[2n - i - 1][{\rm ndepth}]</tex>(аналогично случаю с одним типом скобок, <tex>ndepth = d + 1</tex>, если мы пробуем поставить открывающую скобку, и <tex>d - 1</tex>, если закрывающую). Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия <tex>k</tex> типов скобок. У нас имеется <tex>2n - i - 1</tex> неопределённых позиций, из которых <tex>\rm ndepth</tex> являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет <tex>(2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2</tex> пар) могут быть любого из <tex>k</tex> типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа <tex>k</tex>.
Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>.
Пусть сначала допустимы только скобки одного типа:
'''string''' getSequenceget_sequence(n: '''int''', k: '''int''')
depth = 0
s = ""<tex>\varepsilon</tex>
'''for''' i = 0 '''to''' 2 * n - 1
'''if''' d[2 * n - (i + 1)][depth + 1] <tex>\geqslant </tex> k
s += '('
depth++
s += ')'
depth--
'''return ''' s
Пусть теперь разрешён не один, а <tex>k</tex> типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение <tex>d[i + 1][\rm ndepth]</tex> на величину <tex>k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}</tex>, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только <tex>2n - i - 1 - \rm ndepth</tex>, поскольку <tex>\rm ndepth</tex> скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем).
Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>.
== Количество правильных скобочных последовательностей. Числа Каталана == Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами [[Числа Каталана.{{Определение|id = def1|definition ='''Числа числами Каталана''' (англ]]. ''Catalan number'') {{---}} последовательность чисел, выражающих:*количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и <tex>n + 1</tex> листьями;*количество способов соединения <tex>2n</tex> точек на окружности <tex>n</tex> не пересекающимися хордами;*количество разбиений выпуклого <tex>(n + 2)</tex>-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями;*количество способов полностью разделить скобками <tex>n + 1</tex> множитель;*количество корректных скобочных последовательностей, состоящих из <tex>n</tex> открывающих и <tex>n</tex> закрывающих скобок;}}===Рекурентная формула=== <tex>C_n = \sum_{i = 0}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}</tex> Рекуррентную формулу легко вывести из задачи о правильных скобочных последовательностях. Самой левой открывающей скобке <tex>l</tex> соответствует определённая закрывающая скобка <tex>r</tex>, которая разбивает формулу на две части, каждая из которых в свою очередь является правильной скобочной последовательностью. Поэтому, если мы обозначим <tex>i = r - l - 1</tex>, то для любого фиксированного <tex>r</tex> будет ровно <tex>C_i C_{n-1-i}</tex> способов. Суммируя это по всем допустимым i, мы и получаем рекуррентную зависимость на <tex>C_n</tex>. ===Аналитическая формула=== <tex> C_n = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n} </tex> (здесь через <tex>C_n^k</tex> обозначен, как обычно, биномиальный коэффициент). Эту формулу проще всего вывести из задачи о монотонных путях. Общее количество монотонных путей в решётке размером <tex>n \times n</tex> равно <tex>C_{2n}^{n}</tex>. Теперь посчитаем количество монотонных путей, пересекающих диагональ. Рассмотрим какой-либо из таких путей, и найдём первое ребро, которое стоит выше диагонали. Отразим относительно диагонали весь путь, идущий после этого ребра. В результате получим монотонный путь в решётке <tex>(n - 1) \times (n + 1)</tex>. Но, с другой стороны, любой монотонный путь в решётке <tex>(n - 1) \times (n + 1)</tex> обязательно пересекает диагональ, следовательно, он получен как раз таким способом из какого-либо (причём единственного) монотонного пути, пересекающего диагональ, в решётке <tex>n \times n</tex>. Монотонных путей в решётке <tex>(n - 1) \times (n + 1)</tex> имеется <tex>C_{2n}^{n-1}</tex>. В результате получаем формулу: <tex> C_n = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1} = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n}</tex>
== См. также ==
*[[Числа Каталана]]
*[[Комбинаторные объекты]]
*[[Лексикографический порядок]]
* [http://e-maxx.ru/algo/bracket_sequences MAXimal :: algo :: Правильные скобочные последовательности]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика ]]
