390
правок
Изменения
Добавил см. также
[[Файл:Автомат и правые контексты 1.png|315px|thumb|right|Автомат на правых контекстах. Легенда: <font color=orchit>начальное</font> / <font color=orange>промежуточное</font> / <font color=red>дьявольское</font> / <font color=yelloworange>терминальное</font> состояния; <font color=grey>контекст</font>]]
<tex>\Leftarrow</tex>
:Пусть множество правых контекстов языка конечно. Построим распознающий его автомат. Состояния автомата будут соответствовать различным правым контекстам. Таким образом, каждая вершина автомата соответствует множеству допустимых «продолжений» считанного на данный момент слова. Переход по некоторому символу из одного состояния в другое осуществляется, если контекст, соответствующий первому состоянию, содержит все элементы, которые получаются приписыванием этого символа в начало элементам контекста, соответствующего второму. Вершина, соответствующая контексту пустого слова, является стартовой <tex>\left( C_L^R(\varepsilon) = L \right)</tex>. Вершины, контексты которых содержат <tex>\varepsilon</tex>, должны быть допускающими. :Покажем что полученный автомат допускает в точности указанный язык. По построению выполняетсяВыпишем свойства, которые мы стремились удовлетворить при построении::: 1. <tex> u \quad \leftrightarrow \quad C_L^R(x) ,\ v \quad \leftrightarrow \quad C_L^R(xc) \quad \Leftrightarrow leftrightarrow \quad \langle u,c \rangle \vdash \langle v, \varepsilon \rangle </tex>:: 2. <tex> s \quad \leftrightarrow \quad C_L^R(\varepsilon) , </tex>, где <tex> s </tex> {{---}} стартовое состояние.:: 3. <tex> \varepsilon \in C_L^R(\omega) \quad \Leftrightarrow \quad v \in T \quad ( v \quad \leftrightarrow \quad C_L^R(\omega) ) </tex>:Из 1 следует:: 1*. <tex> u \quad \leftrightarrow \quad C_L^R(x) ,\ v \quad \leftrightarrow \quad C_L^R(x \omega) \quad \Leftrightarrow \quad \langle u,\omega \rangle \vdash^* \langle v, \varepsilon \rangle </tex>:Положив <tex> s = u </tex> и учтя 2, получим* :: <tex> v \quad \leftrightarrow \quad C_L^R(\omega) \quad \Leftrightarrow \quad \langle s,\omega \rangle \vdash^* \langle v, \varepsilon \rangle </tex>В таких условиях (мы фиксируем :Теперь зафиксируем за состоянием <tex> v </tex> контекст <tex> C_L^R(\omega) </tex>) . Тогда левая часть 3 равносильна <tex> \omega \in L </tex>, а правая , с учётом <tex> \langle s,\omega \rangle \vdash^* \langle v, \varepsilon \rangle </tex>, означает, что автомат допускает <tex> \omega </tex>.
<tex>\Rightarrow</tex>
<br/>
:Пусть <tex>L</tex> {{---}} регулярный. Тогда В таком случае существует автомат <tex>\mathcal{A}</tex>, распознающий его. :Рассмотрим произвольное слово <tex>y</tex>. Пусть Положим <tex>u</tex> {{---}} такое состояние <tex>\mathcal{A}</tex>, в которое можно перейти из начального по слову <tex>y</tex>. Тогда <tex>C_L^R(y)</tex> совпадает с множеством слов, по которым из состояния <tex>u</tex> можно попасть в допускающее. :Причем если по какому-то слову <tex>z</tex> тоже можно перейти из начального состояния в <tex>u</tex>, то <tex>C_L^R(y) = C_L^R(z)</tex>. Наоборот, если <tex>C_L^R(y) = C_L^R(z)</tex>, то состояния, в которые можно перейти по словам <tex>y</tex> и <tex>z</tex>, эквивалентны. Таким образом, можно установить взаимное соответствие между правыми контекстами и классами эквивалентности вершин автомата, которых конечное число.
}}
Здесь будем понимать под <tex> C_L^R(X) = Y </tex> не стандартное отображение множества в множество, а <tex> \forall x \in X :\ C_L^R(x) = Y </tex>. Рассмотрим правые контексты следующих языков:
[[Файл:Автомат и правые контексты 2.png|500px|thumb|right|Автомат к языку <tex> \{ 001, 111, 100 \} </tex>]]
=== Левый контекст ===
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>
<br /><tex>\Rightarrow</tex>
:Пусть <tex>L</tex> {{---}} регулярный. Тогда В таком случае существует детерминированный автомат <tex>\mathcal{A}</tex>, распознающий его. Понятно, что для любого слова <tex> xyz </tex>, допускаемого автоматом, существуют <tex> u ,\ v </tex> такие, что <tex> s \cdot x = u ,\ u \cdot y = v ,\ v \cdot z \in T </tex> (где <tex> s </tex> {{---}} начальное состояние). :Тогда справедливо равенство <tex> C_L(y) = \bigcup\limits_{(u, v) :\ u \cdot y = v} \{ \langle x, z \rangle \mid s \cdot x = u ,\ v \cdot z \in T \} </tex>. Учитывая <tex> | \{ (u, v) \mid u,v \in Q ,\ u \cdot y = v \} | = |Q| ^2 </tex>, получаем <tex> | \{ C_L(y) \mid y \in \Sigma^* \} | \leqslant 2^{|Q|^2} </tex>, то есть множество контекстов конечно.
}}
{{Определение
|definition=
'''Синтаксическим моноидом''' (англ. ''syntactic monoid'') <tex>M(L)</tex> языка <tex>L</tex> называется множество, состоящее из его классов эквивалентности <tex>[[x]] = \{ y \in \Sigma^* \mid C_L(x) = C_L(y) \}\ </tex>, с введённым на нём операцией конкатенации <tex>\circ</tex>, где <tex>[[x]]\circ[[y]] = [[xy]]\ \ </tex>. Нейтральным элементом в нём является <tex>[[\varepsilon]]</tex>.
}}
{{Определение
'''Групповой язык''' (англ. ''group language'') {{---}} это язык, синтаксический моноид которого является [[Группа|группой]].
}}
=== Свойства ===
Синтаксический моноид <tex>M(L)</tex> определён для любого <tex>L \in \Sigma^*</tex>, однако некоторые свойства языка можно определить по структуре его синтаксического моноида. Размер синтаксического моноида является мерой структурной сложности языка.
Пусть язык <tex>L</tex> распознается [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] <tex>\mathcal{A} = \langle \Sigma,Q,s,T,\delta \rangle</tex>. Тогда размер его синтаксического моноида <tex>M(L)</tex> не превосходит <tex>|Q|^{|Q|}</tex>.
|proof=
<br/><tex>x \cong y \Leftrightarrow \forall q \in Q: q \cdot x = q \cdot y</tex>
<br/>Оценим количество классов, на которые отношение <tex>\cong</tex> разбивает язык <tex>L</tex>. Сопоставим состояниям автомата Для этого пронумеруем состояния, и каждому слову <tex> \mathcal{A}omega</tex> числа: сопоставим вектор <tex>a_{\forall q_i omega} \in Q, q_i \leftrightarrow num(q_i) = i^{|Q|} </tex>. Каждый класс эквивалентности можно закодировать вектором такой, что <tex>aa_{\omega}[i] = q_j \Leftrightarrow q_i \cdot \omega = q_j </tex> из . Количество различных таких векторов {{---}} <tex>{|Q|}^{|Q|} </tex> чисел, изменяющихся в диапазоне <!--- (поскольку <tex>\forall i = 1..\ldots |Q|</tex>. Положим <tex>:\ a[i] = num(q_i 1 \cdot x)ldots |Q| </tex> {{) ---}} номер состояния, в которое попадём, если начнём с состояния <tex>q_i. В то же время неэквивалентным словам соответствуют разные </tex>, и пойдём по строке <tex>xa </tex> посимвольно, где <tex>xтогда количество классов эквивалентности также ограничено </tex> {{---}} слово из кодируемого класса эквивалентности. Количество различных векторов данного вида {{---}} <tex>|Q|}^{|Q|}</tex>. Остаётся показать, а количество классов что существует взаимно-однозначное соответствие между нашими классами эквивалентности не превосходит этого значенияи синтаксическими моноидами.Смотрим:Если <br><tex>x \cong y</tex> и <br><tex>uxv \in LLeftrightarrow </tex>, то <br><tex>s \cdot (uyvuxv) = ((s \cdot u) \cdot yx) \cdot v = ((s \cdot u) \cdot xy) \cdot v = s \cdot (uxvuyv) \in T</tex> (пусть <tex> s \cdot u = q </tex> из определения <tex> \cong </tex>, то есть тогда <tex> (s \cdot u) \cdot x = q \cdot x = q' = q \cdot y = (s \cdot u) \cdot y \ </tex>)<br><tex> \Leftrightarrow </tex><br><tex>s \cdot (uxv) \in T \Leftrightarrow s \cdot (uyv ) \in LT </tex>. Аналогично из <br><tex>uyv \in LLeftrightarrow </tex> следует <br><tex>uxv \in L \Leftrightarrow uyv \in L</tex>. Значит, <br><tex>x \cong y \Rightarrow Leftrightarrow </tex><br><tex> [[x]] = [[y]]</tex>. Следовательно, размер синтаксического моноида не превосходит количества классов эквивалентности, порождаемых отношением (<tex>\congs </tex>, которое в свою очередь не превосходит <tex>|Q|^{|Q|{---}}</tex>начальное состояние).
}}
Пусть <tex>\mathcal{A} = \langle \Sigma,Q,s,T,\delta \rangle</tex> {{---}} минимальный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], задающий язык <tex>L</tex>. Тогда <tex>M(\mathcal{A})</tex> и <tex>M(L)</tex> изоморфны.
|proof=
Покажем, что <tex>f_x = f_y \quad \Leftrightarrow \quad [[x]] = [[y]]</tex>.
<tex>\Rightarrow</tex>
<br/>
:Данный факт был показан в доказательстве предыдущей леммы, он не требует минимальности автомата.
<tex>\Leftarrow</tex>
<br/>
:Пусть <tex>[[x]] = [[y]]\ </tex> и <tex>q \in Q</tex>. Тогда <tex>q = s \cdot u</tex> для некоторого слова <tex>u</tex>. Пусть <tex>q_1 = f_x(q) = s \cdot ux</tex> и <tex>q_2 = f_y(q) = s \cdot uy</tex>. Поскольку <tex>[[x]] = [[y]]</tex>, справедливо <tex>uxv \in L \quad \Leftrightarrow \quad uyv \in L</tex>. Следовательно, <tex>q_1 \cdot v \in T \Leftrightarrow q_2 \cdot v \in T</tex>, то есть <tex>q_1</tex> и <tex>q_2</tex> эквивалентны. Значит, <tex>q_1 = q_2</tex>, так как автомат <tex>\mathcal{A}</tex> минимален. То есть, <tex>f_x = f_y</tex>.
}}
=== Примеры ===
:<tex>\{\langle u, v \rangle \mid uxv \in L\}a)</tex> {{---}} это множество всех пар <tex>[[\langle u,v varepsilon]] \rangle</tex>, таких что <tex>|u| + |v| = |x|</tex> <tex>(mod</tex> <tex>2)</tex>. Значит, <tex>M(L)</tex> состоит из двух элементов: множества слов чётной длины и множества слов нечётной длины. Нейтральным элементом в данном моноиде является множество слов чётной длины. Оба элемента являются обратными самим себе, значит <tex>M(L)</tex> является группой, следовательно <tex>L</tex> {{---}} групповой языкнейтральный элемент. Включает в себя только пустую строку.
:<tex>b)</tex> <tex>[[0]] \ </tex> содержит все строки, распознаваемые регулярным выражением <tex>0(0|1)^*</tex>. <tex>\forall x \in [[0]]: C_L(x) = \{\langle u, v \rangle \mid u \in L, v \in \Sigma^* \}</tex>.
Заметим, что <tex>[[0]] \varepsilon</tex> и <tex>[[1]]\ </tex> {{---}} не имеют обратных элементов в данном моноиде, так как нейтральный элемент. Включает в себя содержит только пустую строку, а её невозможно получить из непустой с помощью конкатенации. Следовательно <tex>L</tex> не является групповым языком.
====Язык из последовательных N нулей и N единиц====Язык <tex>[[L = 0]]</tex> содержит все строки, распознаваемые регулярным выражением <tex>0(0|1)^*n1^n</tex>. задан над алфавитом <tex>\forall x \in [[0]]: C_L(x) Sigma = \{\langle u0, v \rangle \mid u \in L, v \in \Sigma^* 1\}</tex>.
Балансом слова <tex>[[1]]|\omega|_b</tex> содержит все строкиназовём число, равное разности между количеством нулей и единиц, принадлежащие встречающихся в данном слове. Если слово <tex>\omega = uxv</tex> принадлежит языку<tex>L</tex>, то есть, распознаваемые регулярным выражением <tex>1|x|_b = -(0|1u|_b + |v|_b)^*</tex>. Но <tex>\forall |x \in [[1]]: C_L(|_b</tex> может принимать любое целое значение, при том, что <tex>x) = C_L(\varepsilon) \cup \{\langle \varepsilon, v \rangle \mid v \in \Sigma^* \}</tex>имеет непустой двухсторонний контекст.
== См. также ==
== Источники информации ==
* ''Howard Straubing'' Finite automata, formal logic, and circuit complexity, 1994. ISBN 3-7643-3719-2. {{---}} C. 53.
* ''James A. Anderson'' Automata theory with modern applications, 2006. ISBN 0-521-61324-8. {{---}} С. 72.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Syntactic_monoid Syntactic monoid Wikipedia {{---}} WikipediaSyntactic monoid]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]