Изменения

Самой левой открывающей скобке Пусть <tex dpi = 110120> l X</tex> соответствует определённая закрывающая скобка - произвольная правильная скобочная последовательность длины <tex dpi = 120>2n</tex>. Она начинается с открывающейся скобки. Найдем парную ей закрывающуюся скобку и представим последовательность <tex dpi = 120>X</tex> в виде: <tex dpi = 110120> r X = (A)B</tex>, которая разбивает формулу на две частигде <tex dpi = 120>A</tex> и <tex dpi = 120>B</tex> - тоже правильные скобочные последовательности. Если длина последовательности <tex dpi = 120>A</tex> равна <tex dpi = 120>2k</tex>, каждая из которых в свою очередь является правильной скобочной последовательностьюто последовательность <tex dpi = 120>A</tex> можно составить <tex dpi = 120>C_k</tex> способами. Поэтому, если мы обозначим Тогда длина последовательности <tex dpi = 120>B</tex> равна <tex dpi = 120>2(n - k - 1)</tex> и последовательность <tex dpi = 110120> i B</tex> можно составить <tex dpi = r 120>C_{n - l k - 1 }</tex> способами. Комбинация любого способа составить последовательность <tex dpi = 120>A</tex> с любым способом составить последовательность <tex dpi = 120>B</tex> даст новую последовательность <tex dpi = 120>X</tex>, то для любого фиксированного а величина <tex dpi = 120>k</tex> может меняться от <tex dpi = 120>0</tex> до <tex dpi = 110120> r n - 1</tex> будет ровно . Получили рекуррентное соотношение: <tex dpi = 135120> C_i C_n = C_0 C_{n-1} + C_1 C_{n-i2} + \cdot \cdot \cdot + C_{n-1} C_0 </tex> способов. Суммируя это по всем допустимым Так как <tex dpi = 110120> i C_0 = 1</tex>, мы и то последовательность совпадает с числами Каталана. Если занести всё под знак суммы, то получаем рекуррентную зависимость на конечную формулу: <tex dpi = 135150> C_n = \sum_{i = 0}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i} </tex>.