299
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Базис.''' Базисом является высота <tex>1</tex>, наименьшая из возможных для дерева разбора с терминальной кроной. Поскольку это дерево является деревом разбора, <tex>A \rightarrow \omega</tex> должно быть продукцией. Таким образом, <tex>A \Rightarrow_{lm} \omega</tex> есть одношаговое левое порождение <tex>\omega</tex> из <tex>A</tex>.
'''Индукция.''' Существует корень с отметкой <tex>A</tex> и сыновьями, отмеченными слева направо <tex>X_1X_2...\dots X_k</tex>. Символы <tex>X</tex> могут быть как терминалами, так и переменными.
# Если <tex>X_i</tex> — терминал, то определим <tex>\omega_i</tex> как цепочку, состоящую из одного <tex>X_i</tex>.
# Если <tex>X_i</tex> — переменная, то она должна быть корнем некоторого поддерева с терминальной кроной, которую обозначим <tex>\omega_i</tex>. Заметим, что в этом случае высота поддерева меньше <tex>n</tex>, поэтому к нему применимо предположение индукции. Следовательно, существует левое порождение <tex>X_i \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_i</tex>.
Заметим, что <tex>\omega = \omega_1\omega_2...\dots \omega_k</tex>.Построим левое порождение цепочки <tex>\omega</tex> следующим образом. Начнем с шага <tex>A \Rightarrow_{lm} X_1X_2...\dots X_k</tex>. Затем для <tex>i = 1, 2, ...\dots, k</tex> покажем, что имеет место следующее порождение.
<tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2...\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}...\dots X_k</tex>
Данное доказательство использует в действительности еще одну индукцию, на этот раз по <tex>i</tex>. Для базиса <tex>i = 0</tex> мы уже знаем, что <tex>A \Rightarrow_{lm} X_1X_2...\dots X_k</tex>. Для индукции предположим, что существует следующее порождение.
<tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2...\dots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}...\dots X_k</tex>
# Если <tex>X_i</tex> — терминал, то не делаем ничего, но в дальнейшем рассматриваем <tex>X_i</tex> как терминальную цепочку <tex>\omega_i</tex>. Таким образом, приходим к существованию следующего порождения.<br><tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2...\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}...\dots X_k</tex><br>
# Если <tex>X_i</tex> является переменной, то продолжаем порождением <tex>\omega_i</tex> из <tex>X_i</tex> в контексте уже
построенного порождения. Таким образом, если этим порождением является
<tex>X_i \Rightarrow_{lm} \alpha_1 \Rightarrow_{lm} \alpha_2... \dots \Rightarrow_{lm} \omega_i</tex>,
то продолжаем следующими порождениями.
<tex>\omega_1\omega_2...\dots\omega_{i–1}X_iX_{i+1}...\dots X_k \Rightarrow_{lm}</tex>
<tex>\omega_1\omega_2...\dots\omega_{i–1}\alpha_1X_{i+1}...\dots X_k \Rightarrow_{lm}</tex>
<tex>\omega_1\omega_2...\dots\omega_{i–1}\alpha_2X_{i+1}...\dots X_k \Rightarrow_{lm}</tex>
<tex>...\dots</tex>
<tex>\omega_1\omega_2...\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}...\dots X_k</tex>
Результатом является порождение <tex>A \Rightarrow^{*}_{lm} \omega_1\omega_2...\dots\omega_iX_{i+1}X_{i+2}...\dots X_k</tex>.
Когда <tex>i = k</tex>, результат представляет собой левое порождение <tex>\omega</tex> из <tex>A</tex>.
