418
правок
Изменения
Нет описания правки
== Описание ==
Зафиксируем <tex>x \in \Sigma^*</tex>, где <tex>x = a_1 a_2 a_3 \dots a_n</tex>. Пусть <tex>a_0 = L</tex> и <tex>a_{n+1}=R</tex>. Тогда <tex>a_0 a_1 a_2 \dots a_n a_{n+1} = L x R</tex>.
Пусть дан 2ДКА <tex>A = \langle \Sigma , Q, L, R, s, t, r, \delta \rangle</tex> с <tex>n</tex> состояниями. Тогда можно построить ДКА, распознающий язык тот же язык, с <tex>O(e^n)</tex> состояниями.
Для доказательства приведем ход построения требуемого автомата <tex>B = \langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to Q \rangle</tex>.
== Регулярность языков ==
Рассмотрим длинную входную строку <tex>w_1</tex> и разобьем на две подстроки <tex>w_1=xz</tex>. Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, то граница <tex>x</tex> и <tex>z</tex> может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, когда автомат пересекает границу справа налево (то есть из <tex>z</tex> в <tex>x</tex>), он выходит из состояния <tex>q</tex>. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), то автомат выходит из состояния <tex>p</tex>. Теперь, если 2ДКА перейдет в <tex>x</tex> в состояние <tex>q</tex> заново, то он снова может появиться в состоянии <tex>p</tex>. Более того, состояние <tex>p</tex> зависит исключительно от <tex>q</tex> и <tex>x</tex>. Обозначим такое отношение через записать <tex>T_x(q) = p</tex>. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы <tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}</tex>, где <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний 2ДКА, а <tex>d</tex> и <tex>h</tex> будут описаны ниже.
На входной строке <tex>xz</tex> 2ДКА начнет чтение с левого маркера конца строки. В процессе работы автомата позиция чтения будет меняться. В конце концов это позиция пересечет слева направо границу между <tex>x</tex> и <tex>z</tex>. В первый раз, когда это произойдет в каком-нибудь состоянии <tex>T_x(d)</tex> (для этого мы и выделили <tex>d</tex>). Так же автомат может никогда не выйти из <tex>x</tex>. В таком случае мы запишем <tex>T_x(d) = h</tex>. Состояние <tex>T_x(d)</tex> дает немного информации о <tex>x</tex>, но только конечное количество, поскольку существует только конечное количество вариантов для <tex>T_x(d)</tex>. Отметим, что <tex>T_x(d)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и не зависит от <tex>z</tex>. Если на вход подавалась строка <tex>xw</tex> вместо <tex>xz</tex>, то в таком случае при пересечении границы из <tex>x</tex> в <tex>w</tex> автомат также был бы в состоянии <tex>T_x(d)</tex>, потому что его значение до того момента определялось только <tex>x</tex> и до тех пор не все, что находится справа от границы никак не влияет.
Если <tex>T_x(d) = h</tex>, то 2ДКА должен быть в бесконечном цикле внутри <tex>x</tex> и никогда не допустит или отвергнет входную строку.
Предположим, что 2ДКА переходит из <tex>x</tex> в <tex>z</tex> и спустя время перейти обратно в состояние <tex>q</tex>. Если это происходит, то потом:
* либо снова произойдет переход из <tex>x</tex> в некоторое состояние <tex>p</tex>. В таком случае мы определим <tex>T_x(q)=p</tex>.
* либо никогда не перейдет. В таком случае <tex>T_x(q) = h</tex>.
Ещё раз отметим, что <tex>T_x(q)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и <tex>q</tex> и не зависит от <tex>z</tex>.
== Пример ==
