Изменения

== Регулярность языка ==Рассмотрим длинную входную строку <tex>w_1</tex> и разобьем на две подстроки <tex>w_1=xz</tex>. Будем считать, что <tex>w_1 = a_1 a_2 a_3 \dots a_n</tex>. Пусть дан 2ДКА <tex>A a_0 = \langle \Sigma , Q, L, </tex> и <tex>a_{n+1}=R</tex>. Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, sто граница <tex>x</tex> и <tex>z</tex> может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, tкогда автомат пересекает границу справа налево (то есть из <tex>z</tex> в <tex>x</tex>), rон выходит из <tex>z</tex> в состояние <tex>q</tex>. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), \delta \rangleто автомат выходит из <tex>x</tex> с в состояние <tex>np</tex> состояниями. Тогда можно построить ДКАТеперь, распознающий язык тот же языкесли 2ДКА перейдет в <tex>x</tex> в состояние <tex>q</tex> заново, с то он снова может появиться в состоянии <tex>p</tex>. Более того, состояние <tex>p</tex> зависит исключительно от <tex>q</tex> и <tex>x</tex>O. Обозначим такое отношение через <tex>T_x(e^nq)= p</tex>. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы <tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}</tex>, где <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний 2ДКА, а <tex>d</tex> и <tex>h</tex> состояниямибудут описаны ниже.

Для доказательства приведем ход построения требуемого На входной строке <tex>xz</tex> 2ДКА начнет чтение с левого маркера конца строки. В процессе работы автомата позиция чтения будет меняться. В конце концов это позиция пересечет слева направо границу между <tex>B x</tex> и <tex>z</tex>. В первый раз, когда это произойдет в каком-нибудь состоянии <tex>T_x(d)</tex> (для этого мы и выделили <tex>d</tex>). Так же автомат может никогда не выйти из <tex>x</tex>. В таком случае мы запишем <tex>T_x(d) = \langle \Sigma h</tex>. Состояние <tex>T_x(d)</tex> дает немного информации о <tex>x</tex>, Qно только конечное количество, s \in Qпоскольку существует только конечное количество вариантов для <tex>T_x(d)</tex>. Отметим, что <tex>T_x(d)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и не зависит от <tex>z</tex>. Если на вход подавалась строка <tex>xw</tex> вместо <tex>xz</tex>, T \subset Qто в таком случае при пересечении границы из <tex>x</tex> в <tex>w</tex> автомат также был бы в состоянии <tex>T_x(d)</tex>, \delta : Q \times \Sigma \to Q \rangleпотому что его значение до того момента определялось только <tex>x</tex>и до тех пор все, что находится справа от границы никак не влияет.

== Регулярность языков ==Рассмотрим длинную входную строку <tex>w_1</tex> и разобьем на две подстроки <tex>w_1=xz</tex>. Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, то граница <tex>x</tex> и <tex>z</tex> может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, когда автомат пересекает границу справа налево (то есть из <tex>z</tex> в <tex>x</tex>), он выходит из состояния <tex>q</tex>. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), то автомат выходит из состояния <tex>p</tex>. Теперь, если 2ДКА перейдет в <tex>x</tex> в состояние <tex>q</tex> заново, то он снова может появиться в состоянии <tex>p</tex>. Более того, состояние <tex>p</tex> зависит исключительно от <tex>q</tex> и <tex>x</tex>. Обозначим такое отношение через <tex>T_x(q) = p</tex>. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы <tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}</tex>, где <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний 2ДКА, а <tex>d</tex> и <tex>h</tex> будут описаны ниже. На входной строке <tex>xz</tex> 2ДКА начнет чтение с левого маркера конца строки. В процессе работы автомата позиция чтения будет меняться. В конце концов это позиция пересечет слева направо границу между <tex>x</tex> и <tex>z</tex>. В первый раз, когда это произойдет в каком-нибудь состоянии <tex>T_x(d)</tex> (для этого мы и выделили <tex>d</tex>). Так же автомат может никогда не выйти из <tex>x</tex>. В таком случае мы запишем <tex>T_x(d) = h</tex>. Состояние <tex>T_x(d)</tex> дает немного информации о <tex>x</tex>, но только конечное количество, поскольку существует только конечное количество вариантов для <tex>T_x(d)</tex>. Отметим, что <tex>T_x(d)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и не зависит от <tex>z</tex>. Если на вход подавалась строка <tex>xw</tex> вместо <tex>xz</tex>, то в таком случае при пересечении границы из <tex>x</tex> в <tex>w</tex> автомат также был бы в состоянии <tex>T_x(d)</tex>, потому что его значение до того момента определялось только <tex>x</tex> и до тех пор не все, что находится справа от границы никак не влияет. Если <tex>T_x(d) = h</tex>, то 2ДКА должен быть в бесконечном цикле внутри <tex>x</tex> , и он никогда не допустит или и не отвергнет входную строку.

Ещё раз отметим, что <tex>T_x(q)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и <tex>q</tex> и не зависит от <tex>z</tex>. Если автомат переходит в <tex>x</tex> справа в состояние <tex>q</tex>, то тогда он появится заново в состоянии <tex>T_x(q)</tex> (или никогда не перейдет, если <tex>T_x(q) = h</tex>), потому что автомат детерминированный, и поведение его поведение полностью определяется <tex>x</tex> и состоянием, в которое он вошел.

<tex>T_x = T_y \Rightarrow \forall z (M\ \text{accepts}\ xz \Leftrightarrow M\ \text{accepts}\ yz)</tex> <tex> \Leftrightarrow \forall z (xz \in L(M)</tex> <tex> \Leftrightarrow yz \in L(M)) \Leftrightarrow x \equiv_{L(M)} y</tex>, где <tex>\equiv_{L(M)}</tex> {{---}} [[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]] на множестве слов в алфавите. Таким образом, если 2 строки имеют одинаковые таблицы, то тогда они эквивалентны отношением <tex>\equiv_{L(M)}</tex>. Поскольку у нас только конечное число таблиц, отношение <tex>\equiv_{L(M)}</tex> имеет только конечное количество [[Отношение_эквивалентности|классов эквивалентности]], самое большее один для каждой таблицы. По теореме <tex>L(M)</tex> {{---}} регулярный язык, ч.т.д.