Изменения

== Формула Байеса ==По '''формуле Байеса ''' можно более точно пересчитать вероятность, беря в расчет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений.

События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как они — {{---}} предполагаемые события, повлекшие данное.==Теорема==

|definition='''Формула Байеса''' (или теорема Байеса) (англ. ''Bayes' theorem'') {{---}} формула теории соотношение различных предполагаемых вероятностейразличных событий, которая позволяет определить которое дает вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним какое-то событие<tex>A</tex> является результатом <tex>X</tex> ряда независимых друг от друга событий <tex>B_1,B_2 \ldots B_n</tex>, который, возможно, привел к <tex>A</tex>.

{{Теорема| about == Формулировка =формула Байеса| statement =:<tex>P(B_i|A)=\fracdfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_sum\limits_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)}</tex>,

: <tex>P(A)</tex> — {{---}} вероятность события ''<tex>A'';</tex>,: <tex>P(A|B)</tex> — {{---}} вероятность события ''<tex>A'' </tex> при наступлении события ''<tex>B'';</tex>,: <tex>P(B|A)</tex> — {{---}} вероятность наступления события ''<tex>B'' </tex> при истинности события ''<tex>A'';</tex>,: <tex>P(B)</tex> — {{---}} вероятность наступления события ''<tex>B''</tex>.| proof =

== Доказательство ==Из замечания определения [[Условная вероятность|условной вероятности]] следует, что вероятность произведения двух событий равна: <tex>P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}</tex>

По [[Формула полной вероятности|формуле полной вероятности]]:: <tex>P(A)=\sum_sum\limits_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)</tex> (по [[Формула полной Если вероятности|формуле полной вероятности]])под знаком суммы известны или допускают экспериментальную оценку, то: <tex>\Rightarrow P(B_i|A)=\fracdfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_sum\limits_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)}</tex>  }}

Пусть событие А <tex>A</tex> наступило в результате осуществления одной из гипотез <tex>B_1,B_2 \ldots B_n</tex>. Как определить вероятность того, что имела место та или иная гипотеза?Вероятность заразиться гриппом <tex>0.01</tex>. После проведения анализа вероятность, что это грипп <tex>0.9</tex>, другая болезнь <tex>0.001</tex>.Событие <tex>A</tex> истинно, если анализ на грипп положительный, событие B<subtex>1B_1</subtex> отвечает за грипп, B<subtex>2B_2</subtex> отвечает за другую болезнь.

: <tex>P(A|B_1)=0.901</tex>: , <tex>P(A|B_2)=0.00199</tex>{{---}} ''априорные'' (оцененные до испытания) вероятности. : <tex>P(A|B_1)=0.019</tex>: , <tex>P(A|B_2)=0.99001</tex>{{---}} ''апостериорные'' (оцененные после испытания) вероятности тех же гипотез, пересчитанные в связи «со вновь открывшимися обстоятельствами » {{---}} с учётом того факта, что событие достоверно произошло.

<tex>P(B_1|A)=\fracdfrac{P(B_1 \cap A)}{P(A)}=\fracdfrac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}=\fracdfrac{100}{111}</tex>

При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание ''<tex>N'' </tex> у больного равна <tex>0.95</tex>, вероятность принять здорового человека за больного равна <tex>0.05</tex>. Доля больных по отношению ко всему населению равна <tex>0.01</tex>. Найти вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

: <tex>P(B_1|B)=0.95</tex>,: <tex>P(B_1|A)=0.05</tex>,: <tex>P(B)=0.01</tex>,: <tex>P(A)=0.99</tex>.

<tex>0.99*\cdot 0.05 + 0.01*\cdot 0.95 =0.059</tex>

<tex>Р P(A|B_1) = \fracdfrac{0.99*\cdot 0.05}{0.99*\cdot 0.05 + 0.01*\cdot 0.95}= 830.9 %839</tex>

Таким образом, <tex>83.9 9\% </tex> людей, у которых обследование показало результат «болен», на самом деле здоровые люди. Удивительный результат возникает по причине значительной разницы в долях больных и здоровых. Болезнь ''<tex>N'' — </tex> {{---}} редкое явление, поэтому и возникает такой парадокс Байеса. При возникновении такого результата лучше всего сделать повторное обследование.

Существует метод для фильтрации спама, основанный на применении '''наивного байесовского классификатора'''<ref>[http://ruwww.wikipediamachinelearning.orgru/wiki/Наивный_байесовский_классификатор images/9/98/Voron-ML-Bayes-slides.pdf К.В.Воронцов {{---}} Наивный байесовский классификатор] </ref>, в основе которого лежит применение теоремы Байеса.При проверке письма вычисляется вероятность того, что оно {{---}} Имеется набор писем: спам и не спам. Для Подсчитаем для каждого слова экспериментально подсчитывается его ''вес'' {{---}} процент содержания этого слова вероятность встречи в письмахспаме, отмеченных пользователем, как спамколичество в спаме ко всему количеству в тексте. Тогда ''весом'' письма является среднее ''весов'' всех его Аналогично для словиз не спама. Таким образомПодсчитаем произведения вероятностей для каждого из класса, и где максимум, программа(анти-спам бот) считает туда и определяем письмо спамом, если его ''вес'' больше какой-то заданной пользователем планки (обычно 60-80%). После вынесения решения о полученном письме происходит пересчёт в базе данных весов слов, составляющих текст письма. Почтовый фильтр, основанный на такой системе, называется ''байесовским.''

'''Пример.''' Если 80% писем, содержащих фразу <tex>"</tex>Привет :) Как дела?)<tex>"</tex>, являлись спамом, то и следующее письмо с этим словосочетанием c большой вероятностью {{---}} спам== См.также ==* [[Дискретная случайная величина]]* [[Дисперсия случайной величины]]* [[Ковариация случайных величин]]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Байеса Википедия — {{---}} Теорема Байеса]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem Wikipedia — {{---}} Bayes' theorem]*[http://schegl2g.bget.ru/bayes/YudkowskyBayes.html Scheg12g {{---}} Наглядное объяснение теоремы Байеса]*[http://habrahabr.ru/company/surfingbird/blog/150207/ Habrahabr {{---}} Теорема Байеса и наивный байесовский классификатор]* Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — {{---}} М.: Высшее образование. 2005{{---}} 52 с.